Упр.30.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Последовательность $$\left(x_n\right)$$, заданную рекуррентно, задайте аналитическим способом:
а) $$x_1=2$$; $$x_n=x_{n-1}-9$$, $$n=2,3,4,\ldots$$;
б) $$x_1=-3$$; $$x_n=2x_{n-1}-1$$, $$n=2,3,4,\ldots$$;
в) $$x_1=-12$$, $$x_n=x_{n-1}+5$$, $$n=2,3,4,\ldots$$;
г) $$x_1=4$$; $$x_n=0{,}5x_{n-1}$$, $$n=2,3,4,\ldots$$. - Найдите сумму всех двузначных чисел, которые:
а) при делении на $$7$$ дают в остатке $$3$$;
б) при делении на $$9$$ дают в остатке $$4$$.
а) Последовательность задаётся рекуррентно: $$x_1=2,\quad x_n=x_{n-1}-9.$$
Это арифметическая прогрессия с разностью $$d=-9.$$ Тогда
$$x_n=x_1+(n-1)d=2-9(n-1)=11-9n.$$
б) $$x_1=-3,\quad x_n=2x_{n-1}-1.$$
Проверим вид последовательности. Пусть $$y_n=x_n-1.$$ Тогда
$$y_n=x_n-1=2x_{n-1}-1-1=2(x_{n-1}-1)=2y_{n-1}.$$
Значит, $$y_n$$ — геометрическая прогрессия, и
$$y_1=x_1-1=-4,\quad y_n=-4\cdot 2^{\,n-1}.$$
Тогда
$$x_n=y_n+1=1-4\cdot 2^{\,n-1}=1-2^{\,n+1}.$$
в) $$x_1=-12,\quad x_n=x_{n-1}+5.$$
Это арифметическая прогрессия с разностью $$d=5.$$ Тогда
$$x_n=x_1+(n-1)d=-12+5(n-1)=5n-17.$$
г) $$x_1=4,\quad x_n=0{,}5x_{n-1}.$$
Это геометрическая прогрессия с знаменателем $$q=0{,}5.$$ Тогда
$$x_n=x_1q^{n-1}=4\cdot 0{,}5^{\,n-1}=8\cdot 0{,}5^n.$$
а) Двузначные числа, дающие при делении на $$7$$ остаток $$3$$, образуют арифметическую прогрессию:
$$10,\ 17,\ 24,\ \dots,\ 94.$$
Здесь $$a_1=10,\ d=7,\ a_n=94.$$ Найдём число членов:
$$94=10+7(n-1)$$
$$7n=91,\quad n=13.$$
Сумма:
$$S_{13}=\frac{a_1+a_{13}}{2}\cdot 13=\frac{10+94}{2}\cdot 13=52\cdot 13=676.$$
б) Двузначные числа, дающие при делении на $$9$$ остаток $$4$$:
$$13,\ 22,\ 31,\ \dots,\ 94.$$
Здесь $$a_1=13,\ d=9,\ a_n=94.$$ Найдём число членов:
$$94=13+9(n-1)$$
$$9n=90,\quad n=10.$$
Сумма:
$$S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10=\frac{13+94}{2}\cdot 10=5\cdot 107=535.$$
Ответ
а) $$x_n=11-9n$$; б) $$x_n=1-2^{\,n+1}$$; в) $$x_n=5n-17$$; г) $$x_n=8\cdot 0{,}5^n$$; сумма в пункте а) $$676$$; сумма в пункте б) $$535$$.
