Упр.30.5 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) 3, 3, 3, 3, …; г) -7, 7, -7, 7, …;
б) 15, 13, 11, 9, …; д) 10, 14, 18, 22, …;
в) 3, -6, 12, -24, …; е) 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, … . Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (a_n), заданной формулой n-го члена:
а) a_n=-3n+1; в) a_n=5n+2;
б) a_n=1,5n+2,5; г) a_n=-0,6n-5.
Зададим рекуррентно каждую последовательность.
а) $$3,\,3,\,3,\,3,\ldots$$
Это постоянная последовательность, поэтому
$$a_1=3,\quad a_n=a_{n-1}.$$
б) $$15,\,13,\,11,\,9,\ldots$$
Каждый следующий член на 2 меньше предыдущего:
$$a_1=15,\quad a_n=a_{n-1}-2.$$
в) $$3,\,-6,\,12,\,-24,\ldots$$
Каждый следующий член получается умножением на $$-2$$:
$$a_1=3,\quad a_n=-2a_{n-1}.$$
г) $$-7,\,7,\,-7,\,7,\ldots$$
Каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на $$-1$$:
$$a_1=-7,\quad a_n=-a_{n-1}.$$
д) $$10,\,14,\,18,\,22,\ldots$$
Каждый следующий член на 4 больше предыдущего:
$$a_1=10,\quad a_n=a_{n-1}+4.$$
е) $$\frac13,\,\frac15,\,\frac17,\,\frac19,\ldots$$
Здесь удобно выразить следующий член через предыдущий:
$$a_1=\frac13,\quad a_n=\frac{1}{\frac{1}{a_{n-1}}+2}.$$
Найдём сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии по формуле
$$S_{20}=\frac{a_1+a_{20}}{2}\cdot 20.$$
а) $$a_n=-3n+1$$
$$a_1=-3\cdot 1+1=-2,$$
$$a_{20}=-3\cdot 20+1=-59,$$
$$S_{20}=\frac{-2+(-59)}{2}\cdot 20=\frac{-61}{2}\cdot 20=-610.$$
б) $$a_n=1{,}5n+2{,}5$$
$$a_1=1{,}5\cdot 1+2{,}5=4,$$
$$a_{20}=1{,}5\cdot 20+2{,}5=32{,}5,$$
$$S_{20}=\frac{4+32{,}5}{2}\cdot 20=365.$$
в) $$a_n=5n+2$$
$$a_1=5\cdot 1+2=7,$$
$$a_{20}=5\cdot 20+2=102,$$
$$S_{20}=\frac{7+102}{2}\cdot 20=1090.$$
г) $$a_n=-0{,}6n-5$$
$$a_1=-0{,}6\cdot 1-5=-5{,}6,$$
$$a_{20}=-0{,}6\cdot 20-5=-17,$$
$$S_{20}=\frac{-5{,}6+(-17)}{2}\cdot 20=-226.$$
Ответ
а) $$a_1=3,\ a_n=a_{n-1}$$; б) $$a_1=15,\ a_n=a_{n-1}-2$$; в) $$a_1=3,\ a_n=-2a_{n-1}$$; г) $$a_1=-7,\ a_n=-a_{n-1}$$; д) $$a_1=10,\ a_n=a_{n-1}+4$$; е) $$a_1=\frac13,\ a_n=\frac{1}{\frac{1}{a_{n-1}}+2}$$.
$$S_{20}:\ a)\,-610;\ б)\,365;\ в)\,1090;\ г)\,-226.$$
