Упр.30.3 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Выпишите первые шесть членов последовательности $$(x_n)$$, у которой $$x_1=-1$$, $$x_2=3$$ и каждый член, начиная с третьего, равен модулю разности двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности.
2. Найдите сумму первых ста двадцати членов арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если известны первый член $$a_1$$ и разность $$d$$: а) $$a_1=-10$$, $$d=3$$; в) $$a_1=-25$$, $$d=-4$$; б) $$a_1=4,5$$, $$d=-2,5$$; г) $$a_1=3,5$$, $$d=0,5$$.

Для последовательности задано:

$$x_1=-1,\quad x_2=3,\quad x_n=\lvert x_{n-2}-x_{n-1}\rvert,\quad n\ge 3.$$

Найдём первые шесть членов:

$$x_3=\lvert x_1-x_2\rvert=\lvert -1-3\rvert=4,$$

$$x_4=\lvert x_2-x_3\rvert=\lvert 3-4\rvert=1,$$

$$x_5=\lvert x_3-x_4\rvert=\lvert 4-1\rvert=3,$$

$$x_6=\lvert x_4-x_5\rvert=\lvert 1-3\rvert=2.$$

Итак, первые шесть членов последовательности:

$$-1;\ 3;\ 4;\ 1;\ 3;\ 2.$$

Сумму первых $$120$$ членов арифметической прогрессии находим по формуле:

$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n.$$

а) $$a_1=-10,\quad d=3,$$

$$S_{120}=\frac{2\cdot(-10)+119\cdot 3}{2}\cdot 120=\frac{-20+357}{2}\cdot 120=337\cdot 60=20220.$$

б) $$a_1=4{,}5,\quad d=-2{,}5,$$

$$S_{120}=\frac{2\cdot 4{,}5+119\cdot(-2{,}5)}{2}\cdot 120=\frac{9-297{,}5}{2}\cdot 120=-288{,}5\cdot 60=-17310.$$

в) $$a_1=-25,\quad d=-4,$$

$$S_{120}=\frac{2\cdot(-25)+119\cdot(-4)}{2}\cdot 120=\frac{-50-476}{2}\cdot 120=-526\cdot 60=-31560.$$

г) $$a_1=3{,}5,\quad d=0{,}5,$$

$$S_{120}=\frac{2\cdot 3{,}5+119\cdot 0{,}5}{2}\cdot 120=\frac{7+59{,}5}{2}\cdot 120=66{,}5\cdot 60=3990.$$

Ответ

$$x_1=-1,\ x_2=3,\ x_3=4,\ x_4=1,\ x_5=3,\ x_6=2.$$

а) $$20220$$; б) $$-17310$$; в) $$-31560$$; г) $$3990$$.