Упр.30.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) {x^2 y^2-6xy=-5, 3x+3y=10};
б) {2x^2 y^2-5xy=-2, x-y=-1}.

а) Из второго уравнения получаем:

$$3x+3y=10 \;\Rightarrow\; x+y=\frac{10}{3}.$$

Первое уравнение перепишем так:

$$x^2y^2-6xy=-5 \;\Rightarrow\; (xy)^2-6xy+5=0.$$

Обозначим $$t=xy$$. Тогда

$$t^2-6t+5=0,$$

$$D=36-20=16,$$

$$t_1=\frac{6-4}{2}=1,\qquad t_2=\frac{6+4}{2}=5.$$

Значит, возможны два случая.

1) $$xy=1.$$ Тогда $$y=\frac{1}{x}$$ и

$$x+\frac{1}{x}=\frac{10}{3}.$$

Умножим на $$x$$:

$$3x^2-10x+3=0.$$

$$D=100-36=64,$$

$$x_1=\frac{10-8}{6}=\frac{1}{3},\qquad x_2=\frac{10+8}{6}=3.$$

Тогда

$$y_1=3,\qquad y_2=\frac{1}{3}.$$

Получаем пары $$\left(\frac{1}{3};3\right)$$ и $$\left(3;\frac{1}{3}\right).$$

2) $$xy=5.$$ Тогда $$y=\frac{5}{x}$$ и

$$x+\frac{5}{x}=\frac{10}{3}.$$

Умножим на $$x$$:

$$3x^2-10x+15=0.$$

$$D=100-180=-80<0,$$

значит, действительных решений нет.

б) Из второго уравнения:

$$x-y=-1 \;\Rightarrow\; y=x+1.$$

Первое уравнение перепишем так:

$$2x^2y^2-5xy=-2 \;\Rightarrow\; 2(xy)^2-5xy+2=0.$$

Обозначим $$t=xy$$. Тогда

$$2t^2-5t+2=0,$$

$$D=25-16=9,$$

$$t_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2},\qquad t_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

Значит, возможны два случая.

1) $$xy=\frac{1}{2}.$$ Тогда $$y=\frac{1}{2x}$$ и

$$x-\frac{1}{2x}=-1.$$

Умножим на $$2x$$:

$$2x^2+2x-1=0.$$

$$D=4+8=12,$$

$$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$y=x+1=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}.$$

Получаем пары $$\left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$$ и $$\left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2};\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right).$$

2) $$xy=2.$$ Тогда $$y=\frac{2}{x}$$ и

$$x-\frac{2}{x}=-1.$$

Умножим на $$x$$:

$$x^2+x-2=0.$$

$$D=1+8=9,$$

$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$

Тогда

$$y_1=1,\qquad y_2=2.$$

Получаем пары $$(-2;1)$$ и $$(1;2).$$

Ответ

а) $$\left(\frac{1}{3};3\right),\ \left(3;\frac{1}{3}\right);$$ б) $$\left(\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right),\ \left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2};\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right),\ (-2;1),\ (1;2).$$