Упр.30.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) (3x+2)/(2x)+2x/(3x+2)=-2;
б) (4x-3)/(6x)+6x/(4x-3)=2. Альпинисты, покоряя горные вершины Кавказа, совершили восхождение на Пик Пушкина, высота которого равна 5100 м. В первый день они поднялись на высоту 1500 м, а в каждый из последующих дней преодолевали на 150 м меньше, чем в предыдущий день. Сколько дней понадобилось альпинистам, чтобы покорить Пик Пушкина?

Подробный ответ

а) Обозначим выражение:

$$\frac{3x+2}{2x}+\frac{2x}{3x+2}=-2.$$

ОДЗ: $$x\ne 0,\quad 3x+2\ne 0.$$

Умножим обе части уравнения на $$2x(3x+2)$$:

$$ (3x+2)^2+(2x)^2=-4x(3x+2). $$

Раскроем скобки:

$$9x^2+12x+4+4x^2=-12x^2-8x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$25x^2+20x+4=0.$$

$$ (5x+2)^2=0, $$

откуда

$$5x+2=0,\quad x=-\frac25=-0{,}4.$$

Это значение удовлетворяет ОДЗ.

б) Рассмотрим уравнение:

$$\frac{4x-3}{6x}+\frac{6x}{4x-3}=2.$$

ОДЗ: $$x\ne 0,\quad 4x-3\ne 0.$$

Умножим обе части на $$6x(4x-3)$$:

$$ (4x-3)^2+(6x)^2=12x(4x-3). $$

Раскроем скобки:

$$16x^2-24x+9+36x^2=48x^2-36x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$4x^2+12x+9=0.$$

$$ (2x+3)^2=0, $$

откуда

$$2x+3=0,\quad x=-\frac32=-1{,}5.$$

Это значение удовлетворяет ОДЗ.

в) Пусть $$n$$ — число дней. Тогда высоты, пройденные за дни, образуют арифметическую прогрессию:

$$a_1=1500,\quad d=-150,\quad S_n=5100.$$

Используем формулу суммы:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Подставим данные:

$$5100=\frac{3000-150(n-1)}{2}\cdot n.$$

Упростим:

$$5100=\frac{3150-150n}{2}\cdot n,$$

$$10200=(3150-150n)n,$$

$$150n^2-3150n+10200=0,$$

$$n^2-21n+68=0.$$

Найдём корни:

$$D=21^2-4\cdot 68=441-272=169,$$

$$n=\frac{21\pm 13}{2}.$$

Получаем:

$$n_1=4,\quad n_2=17.$$

Так как за 17 дней сумма первых членов прогрессии с отрицательной разностью уже не соответствует реальному подъёму до вершины, подходит значение $$n=4$$.