Упр.30.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) y_(n+1)>y_n, n>2; в) y_(n+3)>3y_n, n>1;
б) y_(n+2)>2y_n, n>1; г) y_22>3100. В соревнованиях по стрельбе стрелок за каждый промах полу-чает штрафные очки по следующей схеме: за первый промах 1 очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз из 30 выстрелов стрелок попал в цель, если он получил 10 штрафных очков?

Обозначим через $$y_n$$ члены последовательности Фибоначчи. Тогда для любого $$n$$ выполняется рекуррентная формула

$$y_{n+2}=y_{n+1}+y_n.$$

а) Докажем, что $$y_{n+1}>y_n$$ при $$n>2$$.

Так как члены последовательности Фибоначчи положительны, то $$y_{n-1}>0$$. Тогда

$$y_{n+1}=y_n+y_{n-1}>y_n.$$

б) Докажем, что $$y_{n+2}>2y_n$$ при $$n>1$$.

Имеем

$$y_{n+2}=y_{n+1}+y_n.$$

Из пункта а) следует, что $$y_{n+1}>y_n$$, значит

$$y_{n+2}=y_{n+1}+y_n>y_n+y_n=2y_n.$$

в) Докажем, что $$y_{n+3}>3y_n$$ при $$n>1$$.

Запишем:

$$y_{n+3}=y_{n+2}+y_{n+1}.$$

По пункту б) $$y_{n+2}>2y_n$$, а по пункту а) $$y_{n+1}>y_n$$. Тогда

$$y_{n+3}=y_{n+2}+y_{n+1}>2y_n+y_n=3y_n.$$

г) Найдём $$y_{22}$$.

Для последовательности Фибоначчи

$$y_{22}=y_{20}+y_{21}.$$

Из известных значений:

$$y_{20}=6765,\quad y_{21}=10946.$$

Тогда

$$y_{22}=6765+10946=17711>3100.$$

Задача о стрельбе.

Пусть стрелок промахнулся $$n$$ раз. Штрафные очки образуют арифметическую прогрессию:

$$a_1=1,\quad d=0{,}5,\quad S_n=10.$$

По формуле суммы арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

Подставим данные:

$$10=\frac{2+0{,}5(n-1)}{2}\cdot n.$$

Умножим на 2:

$$20=(2+0{,}5n-0{,}5)n,$$

$$20=(1{,}5+0{,}5n)n,$$

$$0{,}5n^2+1{,}5n-20=0.$$

Умножим на 2:

$$n^2+3n-40=0.$$

$$D=3^2+4\cdot 40=169,$$

$$n=\frac{-3+13}{2}=5.$$

Значит, промахов было 5, а попаданий из 30 выстрелов:

$$30-5=25.$$

Ответ

а) $$y_{n+1}>y_n$$; б) $$y_{n+2}>2y_n$$; в) $$y_{n+3}>3y_n$$; г) $$y_{22}=17711$$; в стрельбе — $$25$$ попаданий.