Дополнительная задача 3 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Для последовательности $$x_n=\left(\sqrt{n^{-1}+n^{-2}}+n^{-1}\right)^{-1}$$ найдите: а) $$x_3$$; б) $$x_8$$; в) $$x_{15}$$; г) $$n$$, если $$x_n=4$$; д) $$n$$, если $$x_n=9$$; е) номер члена последовательности, который удалён от числа $$1{,}8$$ на наименьшее расстояние.
- Задание учебника 2023 года. Заполните восьмую строку в треугольнике Паскаля.
Упростим общий член последовательности:
$$x_n=\left(\sqrt{n^{-1}+n^{-2}}+n^{-1}\right)^{-1} =\left(\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{n}\right)^{-1}$$
$$=\left(\sqrt{\frac{n+1}{n^2}}+\frac{1}{n}\right)^{-1} =\left(\frac{\sqrt{n+1}}{n}+\frac{1}{n}\right)^{-1} =\left(\frac{\sqrt{n+1}+1}{n}\right)^{-1} =\frac{n}{\sqrt{n+1}+1}.$$
а) $$x_3=\frac{3}{\sqrt{3+1}+1}=\frac{3}{2+1}=1.$$
б) $$x_8=\frac{8}{\sqrt{8+1}+1}=\frac{8}{3+1}=2.$$
в) $$x_{15}=\frac{15}{\sqrt{15+1}+1}=\frac{15}{4+1}=3.$$
г) Если $$x_n=4,$$ то
$$\frac{n}{\sqrt{n+1}+1}=4$$
$$n=4\sqrt{n+1}+4$$
$$4\sqrt{n+1}=n-4$$
$$16(n+1)=(n-4)^2$$
$$16n+16=n^2-8n+16$$
$$n^2-24n=0$$
$$n(n-24)=0$$
Так как $$n$$ — номер члена последовательности, получаем $$n=24.$$
д) Если $$x_n=9,$$ то
$$\frac{n}{\sqrt{n+1}+1}=9$$
$$n=9\sqrt{n+1}+9$$
$$9\sqrt{n+1}=n-9$$
$$81(n+1)=(n-9)^2$$
$$81n+81=n^2-18n+81$$
$$n^2-99n=0$$
$$n(n-99)=0$$
Следовательно, $$n=99.$$
е) Найдём член последовательности, ближайший к числу $$1{,}8=\frac{9}{5}.$$ Решим уравнение
$$\frac{n}{\sqrt{n+1}+1}=1{,}8$$
$$\frac{n}{\sqrt{n+1}+1}=\frac{9}{5}$$
$$5n=9\sqrt{n+1}+9$$
$$9\sqrt{n+1}=5n-9$$
$$81(n+1)=(5n-9)^2$$
$$81n+81=25n^2-90n+81$$
$$25n^2-171n=0$$
$$n(25n-171)=0$$
Отсюда $$n=0$$ или $$n=\frac{171}{25}=6{,}84.$$ Подходит ближайший номер $$n=7.$$
Заполним восьмую строку треугольника Паскаля:
$$C_8^0=1,\quad C_8^1=8,\quad C_8^2=28,\quad C_8^3=56,\quad C_8^4=70,$$
а дальше значения симметричны:
$$C_8^5=56,\quad C_8^6=28,\quad C_8^7=8,\quad C_8^8=1.$$
Ответ
а) 1; б) 2; в) 3; г) 24; д) 99; е) 7; восьмая строка треугольника Паскаля: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1.
