Дополнительная задача 3 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года.
Для каждого положительного числа (значения независимой переменной) значение функции $$y=h(x)$$ равно:
а) числу, увеличенному на 777%;
б) половине числа, уменьшенного на 23%;
в) 78% от числа, уменьшенного на 20%;
г) 80% от числа, увеличенного на 90%;
д) 40% от 40% трети числа, уменьшенного на 40%;
е) 20% от 20% четверти числа, увеличенного на 20%. - Задание учебника 2023 года.
Для последовательности $$x_n=(v(n^{-1}+n^{-2})+n^{-1})^{-1}$$ найдите:
а) $$x_3$$;
б) $$x_8$$;
в) $$x_{15}$$;
г) $$n$$, если $$x_n=4$$;
д) $$n$$, если $$x_n=9$$;
е) номер члена последовательности, который удалён от числа 1,8 на наименьшее расстояние.
Для каждого пункта выразим функцию через коэффициент при $$x$$.
а) Число, увеличенное на $$777\%$$:
$$y=x\left(1+\frac{777}{100}\right)=8{,}77x.$$
б) Половина числа, уменьшенного на $$23\%$$:
$$y=x\left(1-\frac{23}{100}\right)\cdot \frac12=0{,}77x\cdot 0{,}5=0{,}385x.$$
в) $$78\%$$ от числа, уменьшенного на $$20\%$$:
$$y=x\left(1-\frac{20}{100}\right)\cdot \frac{78}{100}=0{,}8x\cdot 0{,}78=0{,}624x.$$
г) $$80\%$$ от числа, увеличенного на $$90\%$$:
$$y=x\left(1+\frac{90}{100}\right)\cdot \frac{80}{100}=1{,}9x\cdot 0{,}8=1{,}52x.$$
д) $$40\%$$ от $$40\%$$ трети числа, уменьшенного на $$40\%$$:
$$y=x\left(1-\frac{40}{100}\right)\cdot \frac13 \cdot \frac{40}{100}\cdot \frac{40}{100}=0{,}6x\cdot \frac13 \cdot 0{,}4\cdot 0{,}4=0{,}032x.$$
е) $$20\%$$ от $$20\%$$ четверти числа, увеличенного на $$20\%$$:
$$y=x\left(1+\frac{20}{100}\right)\cdot \frac14 \cdot \frac{20}{100}\cdot \frac{20}{100}=1{,}2x\cdot \frac14 \cdot 0{,}2\cdot 0{,}2=0{,}012x.$$
Теперь рассмотрим последовательность:
$$x_n=\left(\sqrt{n^{-1}+n^{-2}}+n^{-1}\right)^{-1}.$$
Преобразуем:
$$x_n=\left(\sqrt{\frac1n+\frac1{n^2}}+\frac1n\right)^{-1} =\left(\sqrt{\frac{n+1}{n^2}}+\frac1n\right)^{-1} =\left(\frac{\sqrt{n+1}}{n}+\frac1n\right)^{-1} =\frac{n}{\sqrt{n+1}+1}.$$
а)
$$x_3=\frac{3}{\sqrt{3+1}+1}=\frac{3}{2+1}=1.$$
б)
$$x_8=\frac{8}{\sqrt{8+1}+1}=\frac{8}{3+1}=2.$$
в)
$$x_{15}=\frac{15}{\sqrt{15+1}+1}=\frac{15}{4+1}=3.$$
г) Если $$x_n=4$$, то
$$\frac{n}{\sqrt{n+1}+1}=4$$
$$n=4\sqrt{n+1}+4$$
$$4\sqrt{n+1}=n-4$$
$$16(n+1)=n^2-8n+16$$
$$n^2-24n=0$$
$$n(n-24)=0.$$
Так как $$n>0$$, получаем $$n=24$$.
д) Если $$x_n=9$$, то
$$\frac{n}{\sqrt{n+1}+1}=9$$
$$n=9\sqrt{n+1}+9$$
$$9\sqrt{n+1}=n-9$$
$$81(n+1)=n^2-18n+81$$
$$n^2-99n=0$$
$$n(n-99)=0.$$
Так как $$n>0$$, получаем $$n=99$$.
е) Найдём член последовательности, ближайший к числу $$1{,}8$$:
$$x_n=\frac{n}{\sqrt{n+1}+1}\approx 1{,}8.$$
Проверим соседние значения:
$$x_6=\frac{6}{\sqrt7+1}\approx 1{,}82,\qquad x_7=\frac{7}{\sqrt8+1}\approx 1{,}83.$$
Ближе всего к $$1{,}8$$ значение $$x_6$$, значит искомый номер — $$6$$.
Ответ
а) $$8{,}77x$$; б) $$0{,}385x$$; в) $$0{,}624x$$; г) $$1{,}52x$$; д) $$0{,}032x$$; е) $$0{,}012x$$; для последовательности: а) $$1$$; б) $$2$$; в) $$3$$; г) $$24$$; д) $$99$$; е) $$6$$.
