Упр.3.21 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

б) Составьте уравнение окружности, проходящей через точки А(-1; 0), В(0; 3) и С(4; -5).

а) Пусть центр окружности имеет координаты $$(x_0;y_0)$$, а радиус равен $$R$$. Тогда точки $$O(0;0)$$, $$P(4;0)$$ и $$T(0;3)$$ лежат на окружности, значит их расстояния до центра равны.

Из равенства расстояний до точек $$O$$ и $$P$$ получаем:

$$ x_0^2+y_0^2=(x_0-4)^2+y_0^2 $$

$$ x_0^2=x_0^2-8x_0+16 $$

$$ 8x_0=16,\quad x_0=2. $$

Из равенства расстояний до точек $$O$$ и $$T$$:

$$ x_0^2+y_0^2=x_0^2+(y_0-3)^2 $$

$$ y_0^2=y_0^2-6y_0+9 $$

$$ 6y_0=9,\quad y_0=1{,}5. $$

Тогда

$$ R^2=(2-0)^2+(1{,}5-0)^2=4+2{,}25=6{,}25. $$

Уравнение окружности:

$$ (x-2)^2+(y-1{,}5)^2=6{,}25. $$

б) Пусть центр окружности имеет координаты $$(x_0;y_0)$$. Так как точки $$A(-1;0)$$, $$B(0;3)$$ и $$C(4;-5)$$ лежат на окружности, то:

$$ (x_0+1)^2+y_0^2=x_0^2+(y_0-3)^2 $$

Раскроем скобки:

$$ x_0^2+2x_0+1+y_0^2=x_0^2+y_0^2-6y_0+9 $$

$$ 2x_0+6y_0=8 $$

$$ x_0+3y_0=4. $$

Теперь используем точки $$A$$ и $$C$$:

$$ (x_0+1)^2+y_0^2=(x_0-4)^2+(y_0+5)^2 $$

$$ x_0^2+2x_0+1+y_0^2=x_0^2-8x_0+16+y_0^2+10y_0+25 $$

$$ 10x_0-10y_0=40 $$

$$ x_0-y_0=4. $$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} x_0+3y_0=4,\\ x_0-y_0=4. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ 4y_0=0,\quad y_0=0. $$

Тогда $$x_0=4$$. Радиус:

$$ R^2=(4-(-1))^2+(0-0)^2=25. $$

Уравнение окружности:

$$ (x-4)^2+y^2=25. $$

Ответ

а) $$ (x-2)^2+(y-1{,}5)^2=6{,}25 $$

б) $$ (x-4)^2+y^2=25 $$