Упр.3.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) единственную точку пересечения;
б) более двух точек пересечения?

Подробный ответ

График уравнения $$|x|+y+p=0$$ задаётся функцией

$$y=-|x|-p.$$

Это ломаная с вершиной в точке $$\left(0,-p\right).$$

Окружность имеет вид

$$x^2+(y+1)^2=4,$$

то есть её центр $$O(0,-1)$$ и радиус $$R=2.$$

Рассмотрим пересечение графиков.

Чтобы было более двух точек пересечения, каждая из двух ветвей графика $$y=-|x|-p$$ должна пересекать окружность в двух точках. Подставим для правой ветви $$y=-x-p$$:

$$x^2+(-x-p+1)^2=4.$$

Получаем квадратное уравнение относительно $$x$$:

$$x^2+(x+p-1)^2=4,$$

$$2x^2+2(p-1)x+(p-1)^2-4=0.$$

Для двух точек пересечения нужно, чтобы это уравнение имело два различных корня:

$$D>0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=[2(p-1)]^2-4\cdot 2\bigl((p-1)^2-4\bigr),$$

$$D=4(p-1)^2-8(p-1)^2+32,$$

$$D=4\bigl(8-(p-1)^2\bigr).$$

Тогда

$$4\bigl(8-(p-1)^2\bigr)>0,$$

$$ (p-1)^2<8,$$

$$-2\sqrt2<p-1<2\sqrt2,$$

$$1-2\sqrt2<p<1+2\sqrt2.$$

Но для того, чтобы пересечений было более двух, вершина ломаной должна лежать ниже центра окружности, то есть

$$-p<-1,$$

$$p>1.$$

Совмещая условия, получаем

$$1<p<1+2\sqrt2.$$

Однако при симметрии относительно оси $$Oy$$ обе ветви дают по две точки только тогда, когда каждая ветвь пересекает окружность в двух точках, а это возможно лишь при расположении вершины ниже центра окружности и при достаточно большом смещении. В данном случае это соответствует промежутку

$$1-2\sqrt2<p\le -1.$$

Для единственной точки пересечения график должен касаться окружности. Это происходит при

$$p=3.$$