Упр.29.7 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Установите характер монотонности последовательности $$(y_n)$$: а) $$y_n=2-\frac{1}{3n}$$; в) $$y_n=\frac{n-2}{2n}$$; б) $$y_n=1-\left(\frac{1}{3}\right)^n$$; г) $$y_n=\frac{3n}{n+3}$$.
2. а) Найдите значения $$x$$, при которых числа $$x$$, $$2x+3$$, $$7x$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. б) Найдите значения $$x$$, при которых числа $$2x+5$$, $$x$$, $$4x-1$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

1. а) $$y_n=2-\frac{1}{3n}$$

   Последовательность $$\frac{1}{3n}$$ убывает, значит $$-\frac{1}{3n}$$ возрастает. Прибавление числа $$2$$ не меняет характер монотонности.

   Следовательно, $$y_n$$ возрастает.

2. б) $$y_n=1-\left(\frac13\right)^n$$

   Последовательность $$\left(\frac13\right)^n$$ убывает, значит $$-\left(\frac13\right)^n$$ возрастает. Прибавление числа $$1$$ не меняет характер монотонности.

   Следовательно, $$y_n$$ возрастает.

3. в) $$y_n=\frac{n-2}{2n}=\frac12-\frac1n$$

   Последовательность $$\frac1n$$ убывает, значит $$-\frac1n$$ возрастает. Прибавление числа $$\frac12$$ не меняет характер монотонности.

   Следовательно, $$y_n$$ возрастает.

4. г) $$y_n=\frac{3n}{n+3}=3-\frac{9}{n+3}$$

   Последовательность $$\frac{9}{n+3}$$ убывает, значит $$-\frac{9}{n+3}$$ возрастает. Прибавление числа $$3$$ не меняет характер монотонности.

   Следовательно, $$y_n$$ возрастает.

5. а) Числа $$x,\;2x+3,\;7x$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, значит средний член равен полусумме соседних:

   $$2x+3=\frac{x+7x}{2}$$

   $$2x+3=4x$$

   $$3=2x$$

   $$x=1{,}5$$

6. б) Числа $$2x+5,\;x,\;4x-1$$ — последовательные члены арифметической прогрессии, значит

   $$x=\frac{(2x+5)+(4x-1)}{2}$$

   $$2x=6x+4$$

   $$-4x=4$$

   $$x=-1$$

Ответ

а) возрастает; б) возрастает; в) возрастает; г) возрастает; а) $$x=1{,}5$$; б) $$x=-1$$.