Упр.29.6 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) y_n=5-3n; г) y_n=5n-4;
б) y_n=4n^2-3; д) y_n=-n^2+6;
в) y_n=n^(1/3)-4; е) y_n=(n-1)^(1/3). Используя характеристическое свойство арифметической прогрессии, найдите a_1 и d, если известно:
а) a_4+a_12=8, a_9·a_7=12; в) a_4+a_9=9, a_12·a_2=-10;
б) a_7+a_15=6, a_12^2-a_10^2=12; г) a_10-a_1=4, a_5^2+a_7^2=5.
Установим характер монотонности последовательности.
а) $$y_n=5-3n$$ — убывает, так как при увеличении $$n$$ значения уменьшаются.
б) $$y_n=4n^2-3$$ — возрастает.
в) $$y_n=\sqrt[3]{n}-4$$ — возрастает.
г) $$y_n=5n-4$$ — возрастает.
д) $$y_n=-n^2+6$$ — убывает.
е) $$y_n=\sqrt[3]{n-1}$$ — возрастает.
Найдём первый член $$a_1$$ и разность $$d$$ арифметической прогрессии.
а) $$a_4+a_{12}=8,\quad a_9\cdot a_7=12$$
$$a_1+3d+a_1+11d=8$$
$$2a_1+14d=8$$
$$a_1+7d=4$$$$a_9=a_1+8d=4+d,\quad a_7=a_1+6d=4-d$$
$$ (4+d)(4-d)=12$$
$$16-d^2=12$$
$$d^2=4,\quad d=\pm 2$$Если $$d=2$$, то $$a_1+7\cdot 2=4$$, значит $$a_1=-10$$.
Если $$d=-2$$, то $$a_1+7\cdot(-2)=4$$, значит $$a_1=18$$.Ответ: $$a_1=18,\ d=-2$$ или $$a_1=-10,\ d=2$$.
б) $$a_7+a_{15}=6,\quad a_{12}^2-a_{10}^2=12$$
$$a_1+6d+a_1+14d=6$$
$$2a_1+20d=6$$
$$a_1+10d=3$$$$a_{12}^2-a_{10}^2=(a_{12}-a_{10})(a_{12}+a_{10})=12$$
$$ (2d)(2a_{11})=12$$
$$4da_{11}=12$$$$a_{11}=a_1+10d=3$$
$$4d\cdot 3=12$$
$$d=1$$
$$a_1+10\cdot 1=3$$
$$a_1=-7$$Ответ: $$a_1=-7,\ d=1$$.
в) $$a_4+a_9=9,\quad a_{12}\cdot a_1=-10$$
$$a_1+3d+a_1+8d=9$$
$$2a_1+11d=9$$$$a_{12}=a_1+11d=9-a_1$$
$$a_1(9-a_1)=-10$$
$$a_1^2-9a_1-10=0$$
$$D=9^2+4\cdot 10=121$$
$$a_1=\frac{9\pm 11}{2}$$$$a_1=10 \quad \text{или} \quad a_1=-1$$
Если $$a_1=-1$$, то $$2(-1)+11d=9$$, откуда $$d=1$$.
Если $$a_1=10$$, то $$2\cdot 10+11d=9$$, откуда $$d=-1$$.Ответ: $$a_1=-1,\ d=1$$ или $$a_1=10,\ d=-1$$.
г) $$a_{10}-a_2=4,\quad a_5^2+a_7^2=5$$
$$a_1+9d-(a_1+d)=4$$
$$8d=4$$
$$d=\frac12$$$$a_5=a_1+4d,\quad a_7=a_1+6d$$
$$ (a_1+4d)^2+(a_1+6d)^2=5$$
$$ (a_1+2)^2+(a_1+3)^2=5$$
$$2a_1^2+10a_1+8=0$$
$$a_1^2+5a_1+4=0$$
$$D=25-16=9$$
$$a_1=\frac{-5\pm 3}{2}$$$$a_1=-4 \quad \text{или} \quad a_1=-1$$
Ответ: $$a_1=-4,\ d=\frac12$$ или $$a_1=-1,\ d=\frac12$$.
Ответ
Монотонность: а) убывает; б) возрастает; в) возрастает; г) возрастает; д) убывает; е) возрастает.
Арифметическая прогрессия: а) $$a_1=18,\ d=-2$$ или $$a_1=-10,\ d=2$$; б) $$a_1=-7,\ d=1$$; в) $$a_1=-1,\ d=1$$ или $$a_1=10,\ d=-1$$; г) $$a_1=-4,\ d=\frac12$$ или $$a_1=-1,\ d=\frac12$$.
