Упр.29.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) 1/11; б) 9/23; в) 6/17; г) 3/7. Докажите, что если числа 1/(a+b), 1/(a+c), 1/(c+b) в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то числа a^2, b^2, c^2 также образуют конечную арифметическую прогрессию.

Подробный ответ

Найдём номер члена последовательности $$c_n=\frac{n-1}{2n+3}$$, равного заданному числу.

а) $$\frac{n-1}{2n+3}=\frac{1}{11}$$

$$11(n-1)=2n+3$$

$$11n-11=2n+3$$

$$9n=14$$

$$n=\frac{14}{9}$$

Такого натурального номера нет.

б) $$\frac{n-1}{2n+3}=\frac{9}{23}$$

$$23(n-1)=9(2n+3)$$

$$23n-23=18n+27$$

$$5n=50$$

$$n=10$$

в) $$\frac{n-1}{2n+3}=\frac{6}{17}$$

$$17(n-1)=6(2n+3)$$

$$17n-17=12n+18$$

$$5n=35$$

$$n=7$$

г) $$\frac{n-1}{2n+3}=\frac{3}{7}$$

$$7(n-1)=3(2n+3)$$

$$7n-7=6n+9$$

$$n=16$$

Докажем утверждение.

Пусть числа $$\frac{1}{a+b},\ \frac{1}{a+c},\ \frac{1}{c+b}$$ в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию. Тогда средний член равен полусумме крайних:

$$2\cdot \frac{1}{a+c}=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2}{a+c}=\frac{a+b+b+c}{(a+b)(b+c)}=\frac{a+c+2b}{(a+b)(b+c)}$$

$$2(a+b)(b+c)=(a+c+2b)(a+c)$$

Раскроем скобки:

$$2(ab+ac+b^2+bc)=a^2+2ac+c^2+2ab+2bc$$

$$2b^2=a^2+c^2$$

$$b^2=\frac{a^2+c^2}{2}$$

Значит, число $$b^2$$ является средним арифметическим чисел $$a^2$$ и $$c^2$$, то есть числа $$a^2,\ b^2,\ c^2$$ образуют арифметическую прогрессию.