Упр.29.10 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) 3, 6, 9, 12, …; г) -2, -4, -6, -8, …;
б) 1, 4, 9, 16, …; д) 1, 8, 27, 64, …;
в) 0, 3, 8, 15, …; е) 2, 9, 28, 65, … . Докажите, что если числа 1/a, 1/b, 1/c в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то верно равенство:
а) ab+bc+ac=3ac; б) b/c+b/a=2.

1. Зададим последовательности формулами общего члена:

   $$a_n=3n,$$
   $$b_n=n^2,$$
   $$c_n=n^2-1,$$
   $$d_n=-2n,$$
   $$e_n=n^3,$$
   $$f_n=n^3+1.$$

   Проверка первых членов показывает, что эти формулы подходят для данных последовательностей.

2. Пусть числа $$\frac1a,\ \frac1b,\ \frac1c$$ в указанном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию. Тогда средний член равен полусумме крайних:

   $$\frac1b=\frac{\frac1a+\frac1c}{2}.$$

   Умножим на $$2abc$$:

   $$2ac+2ab=bc.$$

   Переносим слагаемые:

   $$ab+bc+ac=3ac.$$

   Равенство доказано.

3. Аналогично, если $$\frac1a,\ \frac1b,\ \frac1c$$ — члены арифметической прогрессии, то

   $$\frac1b-\frac1a=\frac1c-\frac1b.$$

   Умножим на $$abc$$:

   $$ac-bc=ab-ac.$$

   После преобразования получаем:

   $$\frac{b}{c}+\frac{b}{a}=2.$$

   Равенство доказано.

Ответ

$$a_n=3n,\quad b_n=n^2,\quad c_n=n^2-1,\quad d_n=-2n,\quad e_n=n^3,\quad f_n=n^3+1.$$

$$ab+bc+ac=3ac,$$
$$\frac{b}{c}+\frac{b}{a}=2.$$