Упр.29.10 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Задайте аналитически данную последовательность: а) $$3, 6, 9, 12, \ldots$$; б) $$1, 4, 9, 16, \ldots$$; в) $$0, 3, 8, 15, \ldots$$; г) $$-2, -4, -6, -8, \ldots$$; д) $$1, 8, 27, 64, \ldots$$; е) $$2, 9, 28, 65, \ldots$$.
2. Докажите, что если числа $$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$$ в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то верно равенство: а) $$ab+bc+ac=3ac$$; б) $$\frac{b}{c}+\frac{b}{a}=2$$.

1. Зададим последовательности формулами общего члена:

   $$a_n=3n,$$
   $$b_n=n^2,$$
   $$c_n=n^2-1,$$
   $$d_n=-2n,$$
   $$e_n=n^3,$$
   $$f_n=n^3+1.$$

   Проверка первых членов показывает, что эти формулы подходят для данных последовательностей.

2. Пусть числа $$\frac1a,\ \frac1b,\ \frac1c$$ в указанном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию. Тогда средний член равен полусумме крайних:

   $$\frac1b=\frac{\frac1a+\frac1c}{2}.$$

   Умножим на $$2abc$$:

   $$2ac+2ab=bc.$$

   Переносим слагаемые:

   $$ab+bc+ac=3ac.$$

   Равенство доказано.

3. Аналогично, если $$\frac1a,\ \frac1b,\ \frac1c$$ — члены арифметической прогрессии, то

   $$\frac1b-\frac1a=\frac1c-\frac1b.$$

   Умножим на $$abc$$:

   $$ac-bc=ab-ac.$$

   После преобразования получаем:

   $$\frac{b}{c}+\frac{b}{a}=2.$$

   Равенство доказано.

Ответ

$$a_n=3n,\quad b_n=n^2,\quad c_n=n^2-1,\quad d_n=-2n,\quad e_n=n^3,\quad f_n=n^3+1.$$

$$ab+bc+ac=3ac,$$
$$\frac{b}{c}+\frac{b}{a}=2.$$