Упр.28.9 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) y=-1/3 x-2 и y=-1/3 |x|-2;
б) y=x^2-4x и y=x^2-4|x|;
в) y=-4/x-2 и y=-4/|x|-2;
г) y=2x-3 и y=2|x|-3;
д) y=-x^2+6x и y=-x^2+6|x|;
е) y=2/(x-3) и y=2/(|x|-3). Возрастающая последовательность состоит из натуральных чисел, кратных 7. Докажите, что эта последовательность является арифметической прогрессией.

1. а) Для функции $$y=-\frac13x-2$$ строим прямую по двум точкам, например $$ (0,-2) $$ и $$ (3,-3) $$.
   Для функции $$y=-\frac13|x|-2$$ получаем две симметричные относительно оси $$Oy$$ ветви:
   $$y=-\frac13x-2,\ x\ge 0;$$
   $$y=\frac13x-2,\ x<0.$$
   График имеет вершину в точке $$ (0,-2) $$.

2. б) Для функции $$y=x^2-4x$$:
   $$y=x^2-4x=(x-2)^2-4,$$
   значит, это парабола с вершиной $$ (2,-4) $$.

   Для функции $$y=x^2-4|x|$$:
   $$y= \begin{cases} x^2-4x, & x\ge 0,\\ x^2+4x, & x<0. \end{cases}$$
   График симметричен относительно оси $$Oy$$ и состоит из двух одинаковых ветвей.

3. в) Для функции $$y=-\frac4x-2$$ строим гиперболу с асимптотами $$x=0$$ и $$y=-2$$.

   Для функции $$y=-\frac4{|x|}-2$$:
   $$y= \begin{cases} -\frac4x-2, & x>0,\\ \frac4x-2, & x<0. \end{cases}$$
   График симметричен относительно оси $$Oy$$.

4. г) Для функции $$y=2x-3$$ строим прямую по точкам $$ (0,-3) $$ и $$ (1,-1) $$.

   Для функции $$y=2|x|-3$$:
   $$y= \begin{cases} 2x-3, & x\ge 0,\\ -2x-3, & x<0. \end{cases}$$
   Получаем V-образный график с вершиной $$ (0,-3) $$.

5. д) Для функции $$y=-x^2+6x$$:
   $$y=-(x-3)^2+9,$$
   значит, вершина параболы — $$ (3,9) $$.

   Для функции $$y=-x^2+6|x|$$:
   $$y= \begin{cases} -x^2+6x, & x\ge 0,\\ -x^2-6x, & x<0. \end{cases}$$
   График симметричен относительно оси $$Oy$$.

6. е) Для функции $$y=\frac2{x-3}$$ асимптоты: $$x=3$$ и $$y=0$$.

   Для функции $$y=\frac2{|x|-3}$$:
   $$y= \begin{cases} \frac2{x-3}, & x\ge 0,\ x\ne 3,\\ \frac2{-x-3}, & x<0. \end{cases}$$
   График симметричен относительно оси $$Oy$$, вертикальные асимптоты: $$x=\pm 3$$.

Последовательность натуральных чисел, кратных 7, имеет вид

$$a_n=7n,\quad n\in \mathbb N.$$

Найдём разность соседних членов:

$$ d=a_{n+1}-a_n=7(n+1)-7n=7. $$

Разность постоянна, значит, эта последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ

а) $$y=-\frac13x-2$$ и $$y=-\frac13|x|-2$$; б) $$y=x^2-4x$$ и $$y=x^2-4|x|$$; в) $$y=-\frac4x-2$$ и $$y=-\frac4{|x|}-2$$; г) $$y=2x-3$$ и $$y=2|x|-3$$; д) $$y=-x^2+6x$$ и $$y=-x^2+6|x|$$; е) $$y=\frac2{x-3}$$ и $$y=\frac2{|x|-3}$$. Последовательность является арифметической прогрессией, $$d=7$$.