Упр.28.5 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) y=|2/3 x-2|; г) y=|-2x+3|;
б) y=|-x^2+1|; д) y=|x^2+4|;
в) y=|x^2-6x+8|; е) y=|-x^2-2x+3|.
Найдите разность d арифметической прогрессии (a_n), если:
а) a_1=2, a_2=7; в) a_2=4, a_3=9;
б) a_12=-22, a_13=-17; г) a_30=-24, a_2=-28.

1. а) $$y=\left|\frac{2}{3}x-2\right|$$

   Найдём нуль выражения под модулем:

   $$\frac{2}{3}x-2=0 \Rightarrow x=3.$$

   Значит, график — это V-образная ломаная с вершиной $$\left(3,0\right)$$:

   $$y=\begin{cases} -\frac{2}{3}x+2, & x<3,\\ \frac{2}{3}x-2, & x\ge 3. \end{cases}$$

2. б) $$y=\left|-x^2+1\right|$$

   Рассмотрим знак выражения под модулем:

   $$-x^2+1\ge 0 \iff x^2\le 1 \iff -1\le x\le 1.$$

   Тогда

   $$y=\begin{cases} -x^2+1, & -1\le x\le 1,\\ x^2-1, & x<-1 \text{ или } x>1. \end{cases}$$

3. в) $$y=\left|x^2-6x+8\right|$$

   Разложим квадратный трёхчлен на множители:

   $$x^2-6x+8=(x-2)(x-4).$$

   Знак выражения меняется в точках $$x=2$$ и $$x=4$$. Поэтому

   $$y=\begin{cases} x^2-6x+8, & x\le 2 \text{ или } x\ge 4,\\ -x^2+6x-8, & 2<x<4. \end{cases}$$

4. г) $$y=\left|-2x+3\right|$$

   Нуль выражения под модулем:

   $$-2x+3=0 \Rightarrow x=\frac{3}{2}.$$

   Тогда

   $$y=\begin{cases} 2x-3, & x<\frac{3}{2},\\ -2x+3, & x\ge \frac{3}{2}. \end{cases}$$

5. д) $$y=\left|x^2+4\right|$$

   Так как $$x^2+4>0$$ при любом $$x$$, модуль не меняет выражение:

   $$y=x^2+4.$$

6. е) $$y=\left|-x^2-2x+3\right|$$

   Преобразуем выражение под модулем:

   $$-x^2-2x+3=-(x^2+2x-3)=-(x+3)(x-1).$$

   Нули: $$x=-3$$ и $$x=1$$. Между ними выражение положительно, вне этого промежутка — отрицательно. Поэтому

   $$y=\begin{cases} x^2+2x-3, & x<-3 \text{ или } x>1,\\ -x^2-2x+3, & -3\le x\le 1. \end{cases}$$

Для арифметической прогрессии используем формулу $$d=a_{n+1}-a_n$$.

1. а) $$a_1=2,\ a_2=7$$

   $$d=a_2-a_1=7-2=5.$$

2. б) $$a_{12}=-22,\ a_{13}=-17$$

   $$d=a_{13}-a_{12}=-17-(-22)=5.$$

3. в) $$a_2=4,\ a_3=9$$

   $$d=a_3-a_2=9-4=5.$$

4. г) $$a_{30}=-24,\ a_2=-28$$

   Так как $$a_{30}=a_1+29d$$, а $$a_2=a_1+d$$, то

   $$a_{30}-a_2=28d.$$

   Подставим значения:

   $$-24-(-28)=28d$$

   $$4=28d$$

   $$d=\frac{1}{7}.$$

Ответ

а) $$y=\left|\frac{2}{3}x-2\right|$$, вершина $$\left(3,0\right)$$; б) $$y=\begin{cases}-x^2+1,& -1\le x\le 1,\\ x^2-1,& x<-1 \text{ или } x>1;\end{cases}$$ в) $$y=\begin{cases}x^2-6x+8,& x\le 2 \text{ или } x\ge 4,\\ -x^2+6x-8,& 2<x<4;\end{cases}$$ г) $$y=\left|-2x+3\right|$$, вершина $$\left(\frac{3}{2},0\right)$$; д) $$y=x^2+4$$; е) $$y=\begin{cases}x^2+2x-3,& x<-3 \text{ или } x>1,\\ -x^2-2x+3,& -3\le x\le 1;\end{cases}$$

Разность прогрессии: а) $$5$$; б) $$5$$; в) $$5$$; г) $$\frac{1}{7}$$.