Упр.28.21 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (5^(1/3)-2)(x-2)(x+5)^2?0; в) (63^(1/3)-3)(x+4)(x-1)^2>0;
б) (3x^2+5x-50)/(4-60^(1/3))>0; г) (4x^2-25x-56)/(5-150^(1/3))?0. а) Установите, принадлежит ли число 6,5 арифметической прогрессии -2, -0,5, 0, … .
б) Установите, принадлежит ли число 40 арифметической прогрессии 7, 11, 15, … .

1. а) $$\left(\sqrt[3]{5}-2\right)(x-2)(x+5)^2\le 0.$$

   Так как $$\sqrt[3]{5}-2<0,$$ то при делении на это число знак неравенства меняется:

   $$ (x-2)(x+5)^2\ge 0.$$

   Множитель $$ (x+5)^2\ge 0 $$ при всех $$x,$$ а равен нулю при $$x=-5.$$ Поэтому произведение неотрицательно при

   $$x=-5 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$

   Ответ: $$\{-5\}\cup[2;+\infty).$$

2. б) $$\frac{3x^2+5x-50}{4-\sqrt[3]{60}}>0.$$

   Так как $$4-\sqrt[3]{60}>0,$$ получаем:

   $$3x^2+5x-50>0.$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=5^2-4\cdot 3\cdot(-50)=25+600=625,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm 25}{6}, \quad x_1=-5,\quad x_2=\frac{10}{3}.$$

   Тогда

   $$3x^2+5x-50=(x+5)(3x-10),$$

   и неравенство выполняется вне корней:

   $$x<-5 \quad \text{или} \quad x>\frac{10}{3}.$$

   Ответ: $$(-\infty;-5)\cup\left(\frac{10}{3};+\infty\right).$$

3. в) $$\left(\sqrt[3]{63}-3\right)(x+4)(x-1)^2>0.$$

   Так как $$\sqrt[3]{63}-3>0,$$ получаем:

   $$ (x+4)(x-1)^2>0.$$

   Множитель $$ (x-1)^2>0 $$ при всех $$x\ne 1,$$ а знак произведения определяется множителем $$x+4.$$ Поэтому

   $$x>-4,\quad x\ne 1.$$

   Ответ: $$(-4;1)\cup(1;+\infty).$$

4. г) $$\frac{4x^2-25x-56}{5-\sqrt[3]{150}}\ge 0.$$

   Так как $$5-\sqrt[3]{150}>0,$$ получаем:

   $$4x^2-25x-56\ge 0.$$

   Найдём корни:

   $$D=25^2-4\cdot 4\cdot(-56)=625+896=1521,$$

   $$x_{1,2}=\frac{25\pm 39}{8}, \quad x_1=-\frac{7}{4},\quad x_2=8.$$

   Тогда

   $$4x^2-25x-56=(x+\tfrac{7}{4})(4x-32),$$

   и неравенство выполняется вне промежутка между корнями:

   $$x\le -\frac{7}{4}\quad \text{или} \quad x\ge 8.$$

   Ответ: $$(-\infty;-\tfrac{7}{4}]\cup[8;+\infty).$$

5. а) Проверим, принадлежит ли число $$6{,}5$$ арифметической прогрессии $$-2,\,-0{,}5,\,0,\ldots$$

   $$a_1=-2,\quad d=1{,}5.$$

   Общий член:

   $$a_n=-2+1{,}5(n-1).$$

   Решим уравнение:

   $$-2+1{,}5(n-1)=6{,}5,$$

   $$1{,}5(n-1)=8{,}5,$$

   $$n-1=\frac{17}{3},\quad n=\frac{20}{3}.$$

   Так как $$n$$ не является натуральным числом, число $$6{,}5$$ не принадлежит этой прогрессии.

   Ответ: нет.

6. б) Проверим, принадлежит ли число $$40$$ арифметической прогрессии $$7,\,11,\,15,\ldots$$

   $$a_1=7,\quad d=4.$$

   Общий член:

   $$a_n=7+4(n-1).$$

   Решим уравнение:

   $$7+4(n-1)=40,$$

   $$4(n-1)=33,$$

   $$n-1=\frac{33}{4},\quad n=\frac{37}{4}.$$

   Так как $$n$$ не является натуральным числом, число $$40$$ не принадлежит этой прогрессии.

   Ответ: нет.