Упр.28.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Упростите выражение и найдите его значение:
а) $$\frac{2a+b}{ab}\cdot\frac{1}{4a^2+b^2+4ab}\cdot(b^2-4a^2)$$ при $$a=\sqrt{5}-1$$, $$b=2+2\sqrt{5}$$;
б) $$\frac{m^3+n^3+3n^2+3n+1}{m^2-mn-m+(n+1)^2}$$ при $$m=-(3+3^{1/5})$$, $$n=3^{1/5}+11$$. - Задание учебника 2023 года.
а) Число $$15$$ является членом арифметической прогрессии $$-1,\ -0{,}5,\ 0,\ \ldots$$. Найдите номер этого члена прогрессии.
б) Число $$-4$$ является членом арифметической прогрессии $$2,\ \frac{4}{3},\ \frac{2}{3},\ \ldots$$. Найдите номер этого члена прогрессии.
а)
$$\frac{2a+b}{ab}\cdot \frac{1}{4a^2+b^2+4ab}\cdot (b^2-4a^2)$$
Разложим на множители:
$$4a^2+b^2+4ab=(b+2a)^2,$$
$$b^2-4a^2=(b-2a)(b+2a).$$Тогда
$$\frac{2a+b}{ab}\cdot \frac{1}{(b+2a)^2}\cdot (b-2a)(b+2a) =\frac{b-2a}{ab}.$$Подставим $$a=\sqrt5-1,\quad b=2+2\sqrt5$$:
$$\frac{b-2a}{ab} =\frac{(2+2\sqrt5)-2(\sqrt5-1)}{(\sqrt5-1)(2+2\sqrt5)} =\frac{4}{8} =\frac12.$$б)
$$\frac{m^3+n^3+3n^2+3n+1}{m^2-mn-m+(n+1)^2}$$
Заметим, что
$$n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3.$$
Тогда числитель:
$$m^3+(n+1)^3=(m+n+1)\bigl(m^2-m(n+1)+(n+1)^2\bigr).$$Следовательно,
$$\frac{m^3+n^3+3n^2+3n+1}{m^2-mn-m+(n+1)^2}=m+n+1.$$Подставим $$m=-(3+\sqrt[5]{3}),\quad n=\sqrt[5]{3}+11$$:
$$m+n+1=-(3+\sqrt[5]{3})+(\sqrt[5]{3}+11)+1=9.$$а) Найдём номер члена арифметической прогрессии $$-1,\,-0{,}5,\,0,\ldots$$
$$a_1=-1,\quad d=-0{,}5-(-1)=0{,}5.$$
Тогда
$$a_n=a_1+d(n-1)=-1+0{,}5(n-1).$$
При $$a_n=15$$ получаем:
$$-1+0{,}5(n-1)=15$$
$$0{,}5n-1{,}5=15$$
$$0{,}5n=16{,}5$$
$$n=33.$$б) Найдём номер члена арифметической прогрессии $$2,\ \frac43,\ \frac23,\ldots$$
$$a_1=2,\quad d=\frac43-2=-\frac23.$$
Тогда
$$a_n=2-\frac23(n-1).$$
При $$a_n=-4$$:
$$2-\frac23(n-1)=-4$$
$$2-\frac23n+\frac23=-4$$
$$\frac83-\frac23n=-4$$
$$\frac23n=\frac{20}{3}$$
$$n=10.$$
Ответ
а) $$\frac12$$; б) $$9$$; а) $$33$$; б) $$10$$.
