Упр.28.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (2a+b)/(ab)·1/(4a^2+b^2+4ab)·(b^2-4a^2) при a=v5-1, b=2+2v5;
б) (m^3+n^3+3n^2+3n+1)/(m^2-mn-m+(n+1)^2) при m=-(3+3^(1/5)), n=3^(1/5)+11. а) Число 15 является членом арифметической прогрессии -1, -0,5, 0, … . Найдите номер этого члена прогрессии.
б) Число -4 является членом арифметической прогрессии 2, 4/3, 2/3, … . Найдите номер этого члена прогрессии.

1. а)

   $$\frac{2a+b}{ab}\cdot \frac{1}{4a^2+b^2+4ab}\cdot (b^2-4a^2)$$

   Разложим на множители:
   $$4a^2+b^2+4ab=(b+2a)^2,$$
   $$b^2-4a^2=(b-2a)(b+2a).$$

   Тогда
   $$ \frac{2a+b}{ab}\cdot \frac{1}{(b+2a)^2}\cdot (b-2a)(b+2a) =\frac{b-2a}{ab}. $$

   Подставим $$a=\sqrt5-1,\quad b=2+2\sqrt5$$:
   $$ \frac{b-2a}{ab} =\frac{(2+2\sqrt5)-2(\sqrt5-1)}{(\sqrt5-1)(2+2\sqrt5)} =\frac{4}{8} =\frac12. $$

2. б)

   $$\frac{m^3+n^3+3n^2+3n+1}{m^2-mn-m+(n+1)^2}$$

   Заметим, что
   $$n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3.$$
   Тогда числитель:
   $$ m^3+(n+1)^3=(m+n+1)\bigl(m^2-m(n+1)+(n+1)^2\bigr). $$

   Следовательно,
   $$ \frac{m^3+n^3+3n^2+3n+1}{m^2-mn-m+(n+1)^2}=m+n+1. $$

   Подставим $$m=-(3+\sqrt[5]{3}),\quad n=\sqrt[5]{3}+11$$:
   $$ m+n+1=-(3+\sqrt[5]{3})+(\sqrt[5]{3}+11)+1=9. $$

3. а) Найдём номер члена арифметической прогрессии $$-1,\,-0{,}5,\,0,\ldots$$

   $$a_1=-1,\quad d=-0{,}5-(-1)=0{,}5.$$
   Тогда
   $$ a_n=a_1+d(n-1)=-1+0{,}5(n-1). $$
   При $$a_n=15$$ получаем:
   $$ -1+0{,}5(n-1)=15 $$
   $$ 0{,}5n-1{,}5=15 $$
   $$ 0{,}5n=16{,}5 $$
   $$ n=33. $$

4. б) Найдём номер члена арифметической прогрессии $$2,\ \frac43,\ \frac23,\ldots$$

   $$a_1=2,\quad d=\frac43-2=-\frac23.$$
   Тогда
   $$ a_n=2-\frac23(n-1). $$
   При $$a_n=-4$$:
   $$ 2-\frac23(n-1)=-4 $$
   $$ 2-\frac23n+\frac23=-4 $$
   $$ \frac83-\frac23n=-4 $$
   $$ \frac23n=\frac{20}{3} $$
   $$ n=10. $$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$9$$; а) $$33$$; б) $$10$$.