Упр.28.17 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=|x|+|x-5|$$. При каких значениях параметра $$p$$ график функции $$y=f(x)$$ и прямая $$y=p$$:
а) имеют одну общую точку;
б) имеют две общие точки;
в) имеют одну или две общие точки;
г) не имеют общих точек;
д) имеют хотя бы одну общую точку;
е) имеют более двух общих точек? - Найдите разность арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если:
а) $$a_1=21$$, $$a_8=48$$;
в) $$a_1=-15$$, $$a_9=5$$;
б) $$a_1=14$$, $$a_{11}=-28$$;
г) $$a_1=-8$$, $$a_{16}=-32$$.
Рассмотрим функцию $$f(x)=|x|+|x-5|.$$
Разобьём область определения на промежутки:
если $$x \le 0,$$ то
$$f(x)=-x+5-x=5-2x;$$
если $$0<x\le 5,$$ то
$$f(x)=x+5-x=5;$$
если $$x>5,$$ то
$$f(x)=x+x-5=2x-5.$$
Значит, график функции состоит из двух наклонных лучей и горизонтального отрезка $$y=5$$ при $$0\le x\le 5.$$ Минимальное значение функции равно $$5.$$
Теперь найдём, при каких значениях $$p$$ прямая $$y=p$$ имеет с графиком нужное число общих точек:
- если $$p<5,$$ общих точек нет;
- если $$p=5,$$ общих точек бесконечно много, так как прямая совпадает с горизонтальным участком графика;
- если $$p>5,$$ прямая пересекает график в двух точках.
Следовательно:
- одна общая точка — таких значений $$p$$ нет;
- две общие точки — $$p>5$$;
- одна или две общие точки — $$p>5$$;
- не имеют общих точек — $$p<5$$;
- имеют хотя бы одну общую точку — $$p\ge 5$$;
- имеют более двух общих точек — $$p=5$$.
Найдём разность арифметической прогрессии по формуле $$a_n=a_1+(n-1)d.$$
а) $$a_1=21,\ a_8=48$$
$$a_8=a_1+7d,$$
$$48=21+7d,$$
$$7d=27,$$
$$d=\frac{27}{7}=3\frac{6}{7}.$$
б) $$a_1=14,\ a_{11}=-28$$
$$a_{11}=a_1+10d,$$
$$-28=14+10d,$$
$$10d=-42,$$
$$d=-4{,}2.$$
в) $$a_1=-15,\ a_9=5$$
$$a_9=a_1+8d,$$
$$5=-15+8d,$$
$$8d=20,$$
$$d=2{,}5.$$
г) $$a_1=-8,\ a_{16}=-32$$
$$a_{16}=a_1+15d,$$
$$-32=-8+15d,$$
$$15d=-24,$$
$$d=-1{,}6.$$
Ответ
1) а) $$p$$ — нет таких значений; б) $$p>5$$; в) $$p>5$$; г) $$p<5$$; д) $$p\ge 5$$; е) $$p=5$$.
2) а) $$d=\frac{27}{7}$$; б) $$d=-4{,}2$$; в) $$d=2{,}5$$; г) $$d=-1{,}6$$.
