Упр.28.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=f(x)$$. Постройте график функции и, используя график, для каждого значения параметра $$p$$ укажите, сколько корней имеет уравнение $$f(x)=p$$:
а) $$f(x)=\frac{x-x^3}{|x|-1}$$;
б) $$f(x)=\frac{|x|}{x-1}$$;
в) $$f(x)=\frac{x}{|x-2|}$$;
г) $$f(x)=\frac{x-x^3}{|x-1|}$$;
д) $$f(x)=\frac{x}{|x|+2}$$;
е) $$f(x)=\frac{x}{|x|-2}$$. - Найдите первый член арифметической прогрессии $$\left(a_n\right)$$, если:
а) $$a_9=7$$, $$d=2$$;
б) $$a_{13}=5{,}1$$, $$d=-0{,}3$$;
в) $$a_{20}=-12$$, $$d=-4$$;
г) $$a_{18}=-9{,}6$$, $$d=0{,}8$$.
а) $$f(x)=\dfrac{x-x^3}{|x|-1}$$
При $$x \ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, тогда
$$f(x)=\dfrac{x-x^3}{x-1}= -x^2-x.$$
При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, тогда
$$f(x)=\dfrac{x-x^3}{-x-1}=x^2-x.$$
По графику уравнение $$f(x)=p$$ имеет:
один корень при $$p \in \mathbb{R},\ p \ne \pm 2$$;
нет корней при $$p \in \{-2;\,2\}$$.
б) $$f(x)=\dfrac{|x|}{x-1}$$
При $$x \ge 0$$:
$$f(x)=\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac{1}{x-1}.$$
При $$x<0$$:
$$f(x)=\dfrac{-x}{x-1}=-1-\dfrac{1}{x-1}.$$
По графику:
один корень при $$p \in (-\infty;\,-1] \cup \{0\} \cup (1;\,+\infty)$$;
два корня при $$p \in (-1;\,0)$$;
нет корней при $$p \in (0;\,1]$$.
в) $$f(x)=\dfrac{x}{|x-2|}$$
При $$x>2$$:
$$f(x)=\dfrac{x}{x-2}=1+\dfrac{2}{x-2}.$$
При $$x<2$$:
$$f(x)=\dfrac{x}{2-x}=-1-\dfrac{2}{x-2}.$$
По графику:
один корень при $$p \in (-\infty;\,-2) \cup \left\{-\dfrac14\right\} \cup [2;\,+\infty)$$;
два корня при $$p \in \left(-\dfrac14;\,2\right)$$;
нет корней при $$p \in \left[-2;\,-\dfrac14\right)$$.
г) $$f(x)=\dfrac{x-x^3}{|x-1|}$$
При $$x>1$$:
$$f(x)=\dfrac{x-x^3}{x-1}=-x^2-x.$$
При $$x<1$$:
$$f(x)=\dfrac{x-x^3}{1-x}=x^2+x.$$
По графику:
один корень при $$p \in (-\infty;\,-2) \cup \left\{-\dfrac14\right\} \cup [2;\,+\infty)$$;
два корня при $$p \in \left(-\dfrac14;\,2\right)$$;
нет корней при $$p \in \left[-2;\,-\dfrac14\right)$$.
д) $$f(x)=\dfrac{x}{|x|+2}$$
При $$x \ge 0$$:
$$f(x)=\dfrac{x}{x+2}=1-\dfrac{2}{x+2}.$$
При $$x<0$$:
$$f(x)=\dfrac{x}{-x+2}=-1-\dfrac{2}{x-2}.$$
По графику:
один корень при $$p \in (-1;\,1)$$;
нет корней при $$p \in (-\infty;\,-1] \cup [1;\,+\infty)$$.
е) $$f(x)=\dfrac{x}{|x|-2}$$
При $$x \ge 0$$:
$$f(x)=\dfrac{x}{x-2}=1+\dfrac{2}{x-2}.$$
При $$x<0$$:
$$f(x)=\dfrac{x}{-x-2}=\dfrac{2}{x+2}-1.$$
По графику:
один корень при $$p \in [-1;\,1]$$;
два корня при $$p \in (-\infty;\,-1) \cup (1;\,+\infty)$$.
Первый член арифметической прогрессии
Используем формулу $$a_n=a_1+(n-1)d$$, откуда
$$a_1=a_n-(n-1)d.$$
а) $$a_9=7,\ d=2$$
$$a_1=7-8\cdot 2=-9.$$
б) $$a_{13}=5{,}1,\ d=-0{,}3$$
$$a_1=5{,}1-12\cdot(-0{,}3)=8{,}7.$$
в) $$a_{20}=-12,\ d=-4$$
$$a_1=-12-19\cdot(-4)=64.$$
г) $$a_{18}=-9{,}6,\ d=0{,}8$$
$$a_1=-9{,}6-17\cdot 0{,}8=-23{,}2.$$
Ответ
а) $$1$$ корень при $$p \in \mathbb{R},\ p \ne \pm 2$$; нет корней при $$p=\pm 2$$.
б) $$1$$ корень при $$p \in (-\infty;\,-1] \cup \{0\} \cup (1;\,+\infty)$$; $$2$$ корня при $$p \in (-1;\,0)$$; нет корней при $$p \in (0;\,1]$$.
в) $$1$$ корень при $$p \in (-\infty;\,-2) \cup \left\{-\dfrac14\right\} \cup [2;\,+\infty)$$; $$2$$ корня при $$p \in \left(-\dfrac14;\,2\right)$$; нет корней при $$p \in \left[-2;\,-\dfrac14\right)$$.
г) $$1$$ корень при $$p \in (-\infty;\,-2) \cup \left\{-\dfrac14\right\} \cup [2;\,+\infty)$$; $$2$$ корня при $$p \in \left(-\dfrac14;\,2\right)$$; нет корней при $$p \in \left[-2;\,-\dfrac14\right)$$.
д) $$1$$ корень при $$p \in (-1;\,1)$$; нет корней при $$p \in (-\infty;\,-1] \cup [1;\,+\infty)$$.
е) $$1$$ корень при $$p \in [-1;\,1]$$; $$2$$ корня при $$p \in (-\infty;\,-1) \cup (1;\,+\infty)$$.
Первый член прогрессии: а) $$-9$$; б) $$8{,}7$$; в) $$64$$; г) $$-23{,}2$$.
