Упр.28.12 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Задание учебника 2025 года.
Постройте график данной функции:
а) $$y=\frac{3}{4}|x|-2$$; б) $$y=-|x|^2+4$$; в) $$y=x^2-2|x|+8$$; г) $$y=-3|x|+2$$; д) $$y=|x|^2-1$$; е) $$y=-x^2+2|x|+3$$.
Задание учебника 2023 года.
Установите, является ли арифметической прогрессией последовательность $$\left(y_n\right)$$, заданная формулой n-го члена:
а) $$y_n=6n-5$$; б) $$y_n=2n^2$$; в) $$y_n=0{,}5\cdot2^{n-1}$$; г) $$y_n=\frac{2n-3}{4}$$; д) $$y_n=-n+9$$; е) $$y_n=\frac{4}{n}$$.

Подробный ответ

а) $$y=\frac34|x|-2$$
Это график функции $$y=|x|$$, сжатый по вертикали в $$\frac34$$ раза и сдвинутый вниз на 2. Получаем V-образный график с вершиной в точке $$\left(0,-2\right)$$.
б) $$y=-|x|^2+4=-x^2+4$$
Это парабола, ветви направлены вниз, вершина $$\left(0,4\right)$$.
в) $$y=x^2-2|x|+8$$
При $$x\ge 0$$: $$y=x^2-2x+8=(x-1)^2+7$$.
При $$x<0$$: $$y=x^2+2x+8=(x+1)^2+7$$.
График симметричен относительно оси $$Oy$$, имеет две одинаковые ветви с наименьшими значениями в точках $$x=\pm 1$$.
г) $$y=-3|x|+2$$
Это V-образный график, ветви направлены вниз, вершина $$\left(0,2\right)$$.
д) $$y=|x|^2-1=x^2-1$$
Это парабола, ветви направлены вверх, вершина $$\left(0,-1\right)$$.
е) $$y=-x^2+2|x|+3$$
При $$x\ge 0$$: $$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$$.
При $$x<0$$: $$y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4$$.
График симметричен относительно оси $$Oy$$, вершины его частей находятся в точках $$\left(-1,4\right)$$ и $$\left(1,4\right)$$.
Проверим, является ли последовательность арифметической прогрессией. Для этого разность $$d=y_{n+1}-y_n$$ должна быть постоянной.
а) $$y_n=6n-5$$
$$d=y_{n+1}-y_n=6(n+1)-5-(6n-5)=6$$
Да, это арифметическая прогрессия.
б) $$y_n=2n^2$$
$$y_1=2,\quad y_2=8,\quad y_3=18$$
$$y_2-y_1=6,\quad y_3-y_2=10$$
Разности не равны, значит, это не арифметическая прогрессия.
в) $$y_n=0{,}5\cdot 2^{n-1}$$
$$y_1=0{,}5,\quad y_2=1,\quad y_3=2$$
$$y_2-y_1=0{,}5,\quad y_3-y_2=1$$
Это не арифметическая прогрессия.
г) $$y_n=\frac{2n-3}{4}$$
$$d=y_{n+1}-y_n=\frac{2(n+1)-3}{4}-\frac{2n-3}{4}=\frac12$$
Да, это арифметическая прогрессия.
д) $$y_n=-n+9$$
$$d=y_{n+1}-y_n=-(n+1)+9-(-n+9)=-1$$
Да, это арифметическая прогрессия.
е) $$y_n=\frac4n$$
$$y_1=4,\quad y_2=2,\quad y_3=\frac43$$
$$y_2-y_1=-2,\quad y_3-y_2=\frac43-2=-\frac23$$
Это не арифметическая прогрессия.