Упр.28.10 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) y=4/(x+1)-2 и y=4/(|x|+1)-2;
б) y=vx-2 и y=v|x|-2;
в) y=-v(x+1)+2 и y=-v|x+1|+2;
г) y=-3/(x+1)-2 и y=-3/(|x|+1)-2;
д) y=-vx+2 и y=-v|x|+2;
е) y=v(x-3)-1 и y=v|x-3|-1. Возрастающая последовательность состоит из натуральных чисел, которые при делении на 6 дают в остатке 5. Докажите, что эта последовательность является арифметической прогрессией.

1. а) Для функции $$y=\frac{4}{x+1}-2$$ область определения: $$x\ne -1$$. Это гипербола с асимптотами $$x=-1$$ и $$y=-2$$.

   Для функции $$y=\frac{4}{|x|+1}-2$$ получаем:

   $$y=\frac{4}{x+1}-2,\quad x\ge 0,$$
   $$y=\frac{4}{-x+1}-2,\quad x<0.$$

   График симметричен относительно оси $$Oy$$, проходит через точку $$\left(0,2\right)$$ и имеет ту же горизонтальную асимптоту $$y=-2$$.

2. б) Для $$y=\sqrt{x}-2$$ область определения: $$x\ge 0$$. График начинается в точке $$\left(0,-2\right)$$.

   Для $$y=\sqrt{|x|}-2$$:

   $$y=\sqrt{x}-2,\quad x\ge 0,$$
   $$y=\sqrt{-x}-2,\quad x<0.$$

   График симметричен относительно оси $$Oy$$, вершина — точка $$\left(0,-2\right)$$.

3. в) Для $$y=-\sqrt{x+1}+2$$ область определения: $$x\ge -1$$. Начальная точка графика: $$\left(-1,2\right)$$.

   Для $$y=-\sqrt{|x+1|}+2$$ график симметричен относительно прямой $$x=-1$$ и также проходит через точку $$\left(-1,2\right)$$.

4. г) Для $$y=-\frac{3}{x+1}-2$$ область определения: $$x\ne -1$$. Асимптоты: $$x=-1$$ и $$y=-2$$.

   Для $$y=-\frac{3}{|x|+1}-2$$:

   $$y=-\frac{3}{x+1}-2,\quad x\ge 0,$$
   $$y=-\frac{3}{-x+1}-2,\quad x<0.$$

   График симметричен относительно оси $$Oy$$ и имеет вершину в точке $$\left(0,-5\right)$$.

5. д) Для $$y=-\sqrt{x}+2$$ область определения: $$x\ge 0$$. Начальная точка графика: $$\left(0,2\right)$$.

   Для $$y=-\sqrt{|x|}+2$$ график симметричен относительно оси $$Oy$$, вершина — точка $$\left(0,2\right)$$.

6. е) Для $$y=\sqrt{x-3}-1$$ область определения: $$x\ge 3$$. Начальная точка графика: $$\left(3,-1\right)$$.

   Для $$y=\sqrt{|x-3|}-1$$ график симметричен относительно прямой $$x=3$$ и также проходит через точку $$\left(3,-1\right)$$.

Последовательность натуральных чисел, дающих при делении на $$6$$ остаток $$5$$, имеет вид:

$$5,\ 11,\ 17,\ 23,\ \dots$$

Её общий член:

$$a_n=6n-1,\quad n\in \mathbb{N}.$$

Найдём разность соседних членов:

$$a_{n+1}-a_n=\bigl(6(n+1)-1\bigr)-\bigl(6n-1\bigr)=6.$$

Разность постоянна, значит, эта последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ

а) $$y=\frac{4}{x+1}-2$$ и $$y=\frac{4}{|x|+1}-2$$; б) $$y=\sqrt{x}-2$$ и $$y=\sqrt{|x|}-2$$; в) $$y=-\sqrt{x+1}+2$$ и $$y=-\sqrt{|x+1|}+2$$; г) $$y=-\frac{3}{x+1}-2$$ и $$y=-\frac{3}{|x|+1}-2$$; д) $$y=-\sqrt{x}+2$$ и $$y=-\sqrt{|x|}+2$$; е) $$y=\sqrt{x-3}-1$$ и $$y=\sqrt{|x-3|}-1$$. Последовательность является арифметической прогрессией, $$a_n=6n-1$$, $$d=6$$.