Упр.27.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) x?[-27; 100); г) x?(-116; 64];
б) x?[-0,125; 0,216]; д) x?[-0,512; 0,729];
в) x?(-?; 64/125]; е) x?[125/216; +?). Последовательность (x_n), заданную рекуррентно, задайте аналитическим способом:
а) x_1=2; x_n=x_(n-1)-9, n=2, 3, 4, …;
б) x_1=-3; x_n=2x_(n-1)-1, n=2, 3, 4, …;
в) x_1=-12, x_n=x_(n-1)+5, n=2, 3, 4, …;
г) x_1=4; x_n=0,5x_(n-1), n=2, 3, 4, … .

1. Функция $$y=\sqrt[3]{x}$$ возрастает на всей области определения, поэтому на каждом промежутке наименьшее значение достигается в левой границе, а наибольшее — в правой, если граница входит в промежуток.

   а) $$x\in[-27;100)$$
   $$y(-27)=\sqrt[3]{-27}=-3$$
   Правая граница не входит в промежуток, значит наибольшего значения нет.

   б) $$x\in[-0{,}125;0{,}216]$$
   $$y(-0{,}125)=\sqrt[3]{-0{,}125}=-0{,}5$$
   $$y(0{,}216)=\sqrt[3]{0{,}216}=0{,}6$$

   в) $$x\in(-\infty;\tfrac{64}{125}]$$
   $$y\!\left(\tfrac{64}{125}\right)=\sqrt[3]{\tfrac{64}{125}}=\tfrac45=0{,}8$$
   Наименьшего значения нет, так как промежуток не ограничен слева.

   г) $$x\in(-116;64]$$
   $$y(64)=\sqrt[3]{64}=4$$
   Наименьшего значения нет, так как промежуток не ограничен слева.

   д) $$x\in[-0{,}512;0{,}729]$$
   $$y(-0{,}512)=\sqrt[3]{-0{,}512}=-0{,}8$$
   $$y(0{,}729)=\sqrt[3]{0{,}729}=0{,}9$$

   е) $$x\in\left[\tfrac{125}{216};+\infty\right)$$
   $$y\!\left(\tfrac{125}{216}\right)=\sqrt[3]{\tfrac{125}{216}}=\tfrac56$$
   Наибольшего значения нет, так как промежуток не ограничен справа.

2. Зададим последовательности аналитически.

   а) $$x_1=2,\quad x_n=x_{n-1}-9$$
   Это арифметическая прогрессия с разностью $$d=-9$$, поэтому
   $$x_n=2+(n-1)(-9)=11-9n.$$

   б) $$x_1=-3,\quad x_n=2x_{n-1}-1$$
   Проверим вид формулы: $$x_n=1-2^n$$.
   Тогда $$x_1=1-2=-1$$ — не подходит. Ищем по сдвигу: положим $$y_n=x_n-1$$. Тогда
   $$y_n=2y_{n-1},\quad y_1=-4,$$
   значит
   $$y_n=-4\cdot 2^{n-1}=-2^{n+1}.$$
   Следовательно,
   $$x_n=y_n+1=1-2^{n+1}.$$

   в) $$x_1=-12,\quad x_n=x_{n-1}+5$$
   Это арифметическая прогрессия с разностью $$d=5$$, поэтому
   $$x_n=-12+(n-1)\cdot 5=5n-17.$$

   г) $$x_1=4,\quad x_n=0{,}5x_{n-1}$$
   Это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q=0{,}5$$, поэтому
   $$x_n=4\cdot (0{,}5)^{n-1}=8\cdot (0{,}5)^n.$$

Ответ

1) а) $$-3$$, нет; б) $$-0{,}5$$, $$0{,}6$$; в) нет, $$0{,}8$$; г) нет, $$4$$; д) $$-0{,}8$$, $$0{,}9$$; е) $$\tfrac56$$, нет.
2) а) $$x_n=11-9n$$; б) $$x_n=1-2^{n+1}$$; в) $$x_n=5n-17$$; г) $$x_n=8\cdot(0{,}5)^n$$.