Упр.27.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=f(x)$$, где $$f(x)=x^{\frac{1}{3}}$$, на заданном промежутке:
а) $$x\in[-27;100)$$;
б) $$x\in[-0{,}125;0{,}216]$$;
в) $$x\in\left(-\infty;\frac{64}{125}\right]$$;
г) $$x\in(-116;64]$$;
д) $$x\in[-0{,}512;0{,}729]$$;
е) $$x\in\left[\frac{125}{216};+\infty\right)$$. - Последовательность $$(x_n)$$, заданную рекуррентно, задайте аналитическим способом:
а) $$x_1=2,\quad x_n=x_{n-1}-9,\quad n=2,3,4,\ldots$$;
б) $$x_1=-3,\quad x_n=2x_{n-1}-1,\quad n=2,3,4,\ldots$$;
в) $$x_1=-12,\quad x_n=x_{n-1}+5,\quad n=2,3,4,\ldots$$;
г) $$x_1=4,\quad x_n=0{,}5x_{n-1},\quad n=2,3,4,\ldots$$.
- Функция $$y=\sqrt[3]{x}$$ возрастает на всей области определения, поэтому на каждом промежутке наименьшее значение достигается в левой границе, а наибольшее — в правой, если граница входит в промежуток.
а) $$x\in[-27;100)$$
$$y(-27)=\sqrt[3]{-27}=-3$$
Правая граница не входит в промежуток, значит наибольшего значения нет.б) $$x\in[-0{,}125;0{,}216]$$
$$y(-0{,}125)=\sqrt[3]{-0{,}125}=-0{,}5$$
$$y(0{,}216)=\sqrt[3]{0{,}216}=0{,}6$$в) $$x\in(-\infty;\tfrac{64}{125}]$$
$$y\!\left(\tfrac{64}{125}\right)=\sqrt[3]{\tfrac{64}{125}}=\tfrac45=0{,}8$$
Наименьшего значения нет, так как промежуток не ограничен слева.г) $$x\in(-116;64]$$
$$y(64)=\sqrt[3]{64}=4$$
Наименьшего значения нет, так как промежуток не ограничен слева.д) $$x\in[-0{,}512;0{,}729]$$
$$y(-0{,}512)=\sqrt[3]{-0{,}512}=-0{,}8$$
$$y(0{,}729)=\sqrt[3]{0{,}729}=0{,}9$$е) $$x\in\left[\tfrac{125}{216};+\infty\right)$$
$$y\!\left(\tfrac{125}{216}\right)=\sqrt[3]{\tfrac{125}{216}}=\tfrac56$$
Наибольшего значения нет, так как промежуток не ограничен справа. - Зададим последовательности аналитически.
а) $$x_1=2,\quad x_n=x_{n-1}-9$$
Это арифметическая прогрессия с разностью $$d=-9$$, поэтому
$$x_n=2+(n-1)(-9)=11-9n.$$б) $$x_1=-3,\quad x_n=2x_{n-1}-1$$
Проверим вид формулы: $$x_n=1-2^n$$.
Тогда $$x_1=1-2=-1$$ — не подходит. Ищем по сдвигу: положим $$y_n=x_n-1$$. Тогда
$$y_n=2y_{n-1},\quad y_1=-4,$$
значит
$$y_n=-4\cdot 2^{n-1}=-2^{n+1}.$$
Следовательно,
$$x_n=y_n+1=1-2^{n+1}.$$в) $$x_1=-12,\quad x_n=x_{n-1}+5$$
Это арифметическая прогрессия с разностью $$d=5$$, поэтому
$$x_n=-12+(n-1)\cdot 5=5n-17.$$г) $$x_1=4,\quad x_n=0{,}5x_{n-1}$$
Это геометрическая прогрессия со знаменателем $$q=0{,}5$$, поэтому
$$x_n=4\cdot (0{,}5)^{n-1}=8\cdot (0{,}5)^n.$$
Ответ
1) а) $$-3$$, нет; б) $$-0{,}5$$, $$0{,}6$$; в) нет, $$0{,}8$$; г) нет, $$4$$; д) $$-0{,}8$$, $$0{,}9$$; е) $$\tfrac56$$, нет.
2) а) $$x_n=11-9n$$; б) $$x_n=1-2^{n+1}$$; в) $$x_n=5n-17$$; г) $$x_n=8\cdot(0{,}5)^n$$.
