Упр.27.4 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) Найдите f(-5), f(0), f(2);
б) решите уравнение f(x)=-3;
в) решите неравенство f(x)?0;
г) найдите промежутки, на которых функция выпукла вверх, выпукла вниз. Выпишите первые семь членов последовательности (y_n), у которой y_1=1, yy_2=2 и каждый член, начиная с третьего, равен модулю разности квадратов двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности.

Дана функция $$f(x)=\sqrt[3]{x-3}-1.$$

а) Найдём значения функции:

$$f(-5)=\sqrt[3]{-5-3}-1=\sqrt[3]{-8}-1=-2-1=-3,$$
$$f(0)=\sqrt[3]{0-3}-1=\sqrt[3]{-3}-1=-\sqrt[3]{3}-1,$$
$$f(2)=\sqrt[3]{2-3}-1=\sqrt[3]{-1}-1=-1-1=-2.$$

б) Решим уравнение $$f(x)=-3.$$

$$\sqrt[3]{x-3}-1=-3,$$
$$\sqrt[3]{x-3}=-2,$$
$$x-3=-8,$$
$$x=-5.$$

в) Решим неравенство $$f(x)\ge 0.$$

$$\sqrt[3]{x-3}-1\ge 0,$$
$$\sqrt[3]{x-3}\ge 1,$$
$$x-3\ge 1,$$
$$x\ge 4.$$

г) Для функции $$f(x)=\sqrt[3]{x-3}-1$$ вторая производная имеет знак, противоположный знаку $$x-3$$, поэтому:

на промежутке $$(-\infty;3)$$ функция выпукла вниз,
на промежутке $$(3;+\infty)$$ функция выпукла вверх.

Последовательность. Пусть $$y_1=1,$$ $$y_2=2,$$ а для $$n\ge 3$$

$$y_n=\left|y_{n-2}^2-y_{n-1}^2\right|.$$

Найдём первые семь членов:

$$y_3=\left|1^2-2^2\right|=|1-4|=3,$$
$$y_4=\left|2^2-3^2\right|=|4-9|=5,$$
$$y_5=\left|3^2-5^2\right|=|9-25|=16,$$
$$y_6=\left|5^2-16^2\right|=|25-256|=231,$$
$$y_7=\left|16^2-231^2\right|=|256-53361|=53105.$$

Ответ

а) $$f(-5)=-3,$$ $$f(0)=-\sqrt[3]{3}-1,$$ $$f(2)=-2.$$
б) $$x=-5.$$
в) $$[4;+\infty).$$
г) $$(-\infty;3)$$ — выпукла вниз, $$ (3;+\infty)$$ — выпукла вверх.
Первые семь членов последовательности: $$1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 16,\ 231,\ 53105.$$
Рекуррентная формула: $$y_1=1,\ y_2=2,\ y_n=\left|y_{n-2}^2-y_{n-1}^2\right|,\ n\ge 3.$$