Упр.27.19 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   
   а) $$\begin{cases}6x-y=-1,\\ \frac{5}{x}+\frac{3}{y}=16;\end{cases}$$
   
   б) $$\begin{cases}3x^2+2y^2-3x+4y=16,\\ 4x^2-2y^2+5x-4y=-7;\end{cases}$$
   
   в) $$\begin{cases}4x+2y=-1,\\ \frac{7}{x}+\frac{9}{y}=4;\end{cases}$$
   
   г) $$\begin{cases}5x^2+3y^2-4x+3y=48,\\ 5x^2-y^2-4x-6y=-15.\end{cases}$$

1. а)

   Из первого уравнения выразим $$y$$:
   $$6x-y=-1$$
   $$y=6x+1.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$\frac{5}{x}+\frac{3}{6x+1}=16.$$
   Умножим на $$x(6x+1)$$:
   $$5(6x+1)+3x=16x(6x+1).$$
   Получаем:
   $$30x+5+3x=96x^2+16x$$
   $$96x^2-17x-5=0.$$
   $$D=(-17)^2-4\cdot 96\cdot(-5)=2209,$$
   $$x_{1,2}=\frac{17\pm 47}{192}.$$
   Тогда
   $$x_1=-\frac{5}{32},\quad x_2=\frac{1}{3}.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y_1=6\left(-\frac{5}{32}\right)+1=\frac{1}{16},\qquad y_2=6\cdot\frac{1}{3}+1=3.$$
   Ответы:
   $$\left(-\frac{5}{32};\frac{1}{16}\right),\ \left(\frac{1}{3};3\right).$$

2. б)

   Сложим уравнения:
   $$\begin{cases} 3x^2+2y^2-3x+4y=16,\\ 4x^2-2y^2+5x-4y=-7. \end{cases}$$
   Тогда
   $$7x^2+2x=9,$$
   $$7x^2+2x-9=0.$$
   $$D=2^2-4\cdot 7\cdot(-9)=256,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-2\pm 16}{14}.$$
   Значит,
   $$x_1=-\frac{9}{7},\quad x_2=1.$$
   
   1) При $$x=-\frac{9}{7}$$:
   $$3\cdot\frac{81}{49}+2y^2+\frac{27}{7}+4y=16,$$
   $$98y^2+196y-176=0.$$
   $$D=196^2-4\cdot 98\cdot(-176)=44100,$$
   $$y_{1,2}=\frac{-196\pm 210}{196}.$$
   Получаем:
   $$y_1=-\frac{29}{7},\quad y_2=\frac{1}{7}.$$
   
   2) При $$x=1$$:
   $$3+2y^2-3+4y=16,$$
   $$y^2+2y-8=0.$$
   $$D=36,$$
   $$y_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}.$$
   Получаем:
   $$y_1=-4,\quad y_2=2.$$
   Ответы:
   $$\left(-\frac{9}{7};-\frac{29}{7}\right),\ \left(-\frac{9}{7};\frac{1}{7}\right),\ (1;-4),\ (1;2).$$

3. в)

   Из первого уравнения:
   $$4x+2y=-1,\qquad y=-2x-\frac{1}{2}.$$
   Подставим во второе:
   $$\frac{7}{x}+\frac{9}{-2x-\frac12}=4.$$
   Умножим на $$x\left(-2x-\frac12\right)$$:
   $$7\left(-2x-\frac12\right)+9x=4x\left(-2x-\frac12\right).$$
   Получаем:
   $$-14x-\frac72+9x=-8x^2-2x$$
   $$8x^2-3x-\frac72=0$$
   $$16x^2-6x-7=0.$$
   $$D=(-6)^2-4\cdot 16\cdot(-7)=484,$$
   $$x_{1,2}=\frac{6\pm 22}{32}.$$
   Тогда
   $$x_1=-\frac12,\quad x_2=\frac78.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y_1=-2\left(-\frac12\right)-\frac12=\frac12,\qquad y_2=-2\cdot\frac78-\frac12=-\frac94.$$
   Ответ:
   $$\left(-\frac12;\frac12\right),\ \left(\frac78;-\frac94\right).$$

4. г)

   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$\begin{cases} 5x^2+3y^2-4x+3y=48,\\ 5x^2-y^2-4x-6y=-15. \end{cases}$$
   Тогда
   $$4y^2+9y=63,$$
   $$4y^2+9y-63=0.$$
   $$D=9^2-4\cdot 4\cdot(-63)=1089,$$
   $$y_{1,2}=\frac{-9\pm 33}{8}.$$
   Получаем:
   $$y_1=-\frac{21}{4},\quad y_2=3.$$
   
   1) При $$y=-\frac{21}{4}$$:
   $$5x^2+3\cdot\frac{441}{16}-4x-\frac{63}{4}=48,$$
   $$80x^2-64x+303=0.$$
   Здесь $$D<0$$, значит действительных решений нет.
   2) При $$y=3$$:
   $$5x^2+27-4x+9=48,$$
   $$5x^2-4x-12=0.$$
   $$D=256,$$
   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 16}{10}.$$
   Тогда
   $$x_1=-\frac65,\quad x_2=2.$$
   Ответ:
   $$\left(-\frac65;3\right),\ (2;3).$$

Ответ

а) $$\left(-\frac{5}{32};\frac{1}{16}\right),\ \left(\frac{1}{3};3\right)$$;
б) $$\left(-\frac{9}{7};-\frac{29}{7}\right),\ \left(-\frac{9}{7};\frac{1}{7}\right),\ (1;-4),\ (1;2)$$;
в) $$\left(-\frac12;\frac12\right),\ \left(\frac78;-\frac94\right)$$;
г) $$\left(-\frac65;3\right),\ (2;3)$$.