Упр.27.17 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

При каком значении параметра р уравнение f(x)=p:
а) имеет два корня;
б) имеет три корня;
в) имеет хотя бы один корень;
г) имеет единственный корень;
д) не имеет корней;
е) имеет четыре корня?

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} 2(x+4)^2, & -6\le x<-2,\\ -x^3, & -2\le x<0,\\ \sqrt[3]{x}, & 0\le x<8. \end{cases} $$

Рассмотрим значения функции на каждом промежутке.

• При $$-6\le x<-2$$ имеем параболу $$y=2(x+4)^2$$. На этом промежутке она принимает значения от $$0$$ до $$8$$, причём $$0$$ достигается при $$x=-4$$, а $$8$$ — при $$x=-6$$ и $$x=-2$$ не входит в промежуток.
• При $$-2\le x<0$$ функция $$y=-x^3$$ убывает от $$8$$ до $$0$$, то есть принимает все значения из промежутка $$[0;8]$$.
• При $$0\le x<8$$ функция $$y=\sqrt[3]{x}$$ принимает значения от $$0$$ до $$2$$, то есть $$[0;2)$$.

Теперь определим, сколько корней имеет уравнение $$f(x)=p$$ в зависимости от значения $$p$$.

• Если $$p<0$$ или $$p>8$$, то корней нет.
• Если $$p=0$$ или $$p=8$$, то уравнение имеет по одному корню.
• Если $$0<p<2$$, то на каждом из трёх промежутков есть по одному решению, всего 3 корня.
• Если $$p=2$$, то на первом и втором промежутках по одному корню, а на третьем — один корень при $$x=8$$ не входит, значит всего 2 корня.
• Если $$2<p<8$$, то на первом и втором промежутках по одному корню, а на третьем корней нет, всего 2 корня.

Следовательно:

1. два корня — при $$0<p<8$$, кроме случаев, когда $$p=0$$ или $$p=8$$;
2. три корня — при $$0<p<2$$;
3. хотя бы один корень — при $$0\le p\le 8$$;
4. единственный корень — при $$p=0$$ или $$p=8$$;
5. корней нет — при $$p<0$$ или $$p>8$$;
6. четыре корня — таких значений $$p$$ нет.

Ответ

а) $$p\in(0;2)\cup(2;8)$$;
б) $$p\in(0;2)$$;
в) $$p\in[0;8]$$;
г) $$p=0$$ или $$p=8$$;
д) $$p<0$$ или $$p>8$$;
е) таких значений $$p$$ нет.