Упр.27.10 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) y=x^3·x^(1/3)-11; г) y=x^4·x^(1/3);
б) y=x^2·x^(1/3); д) y=3x^5·x^(1/3);
в) y=x x^(1/3)-3/x; е) y=x^3+3 x^(1/3). Для последовательности Фибоначчи докажите, что:
а) y_(n+1)>y_n, n>2; в) y_(n+3)>3y_n, n>1;
б) y_(n+2)>2y_n, n>1; г) y_22>3100.

1. а) $$y=x^3\cdot \sqrt[3]{x}-11$$

   Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$

   Проверим чётность:

   $$ y(-x)=(-x)^3\cdot \sqrt[3]{-x}-11=x^3\cdot \sqrt[3]{x}-11=y(x). $$

   Функция чётная.

2. б) $$y=x^2\cdot \sqrt[3]{x}$$

   Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$

   $$ y(-x)=(-x)^2\cdot \sqrt[3]{-x}=-x^2\cdot \sqrt[3]{x}=-y(x). $$

   Функция нечётная.

3. в) $$y=x\sqrt[3]{x}-\frac{3}{x}$$

   Область определения: $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

   $$ y(-x)=(-x)\sqrt[3]{-x}-\frac{3}{-x}=x\sqrt[3]{x}+\frac{3}{x}. $$

   Получили, что $$y(-x)\ne y(x)$$ и $$y(-x)\ne -y(x).$$

   Функция ни чётная, ни нечётная.

4. г) $$y=x^4\cdot \sqrt[3]{x}$$

   Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$

   $$ y(-x)=(-x)^4\cdot \sqrt[3]{-x}=-x^4\cdot \sqrt[3]{x}=-y(x). $$

   Функция нечётная.

5. д) $$y=3x^5\cdot \sqrt[3]{x}$$

   Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$

   $$ y(-x)=3(-x)^5\cdot \sqrt[3]{-x}=3x^5\cdot \sqrt[3]{x}=y(x). $$

   Функция чётная.

6. е) $$y=x^3+3\sqrt[3]{x}$$

   Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$

   $$ y(-x)=(-x)^3+3\sqrt[3]{-x}=-x^3-3\sqrt[3]{x}=-y(x). $$

   Функция нечётная.

Ответ

а) чётная; б) нечётная; в) ни чётная, ни нечётная; г) нечётная; д) чётная; е) нечётная.

Ход решения

1. а) Докажем, что $$y_{n+1}>y_n,\ n>2.$$

   Для последовательности Фибоначчи
   $$ y_{n+1}=y_n+y_{n-1}. $$
   Так как при $$n>2$$ все члены положительны, то $$y_{n-1}>0$$, значит
   $$ y_{n+1}=y_n+y_{n-1}>y_n. $$

2. б) Докажем, что $$y_{n+2}>2y_n,\ n>1.$$

   $$ y_{n+2}=y_{n+1}+y_n. $$
   Из пункта а) следует, что $$y_{n+1}>y_n$$, значит
   $$ y_{n+2}=y_{n+1}+y_n>y_n+y_n=2y_n. $$

3. в) Докажем, что $$y_{n+3}>3y_n,\ n>1.$$

   $$ y_{n+3}=y_{n+2}+y_{n+1}. $$
   По пункту б) имеем $$y_{n+2}>2y_n$$, а по пункту а) $$y_{n+1}>y_n$$. Тогда
   $$ y_{n+3}=y_{n+2}+y_{n+1}>2y_n+y_n=3y_n. $$

4. г) Докажем, что $$y_{22}>3100.$$

   $$ y_{22}=y_{20}+y_{21}=10946+6765=17711. $$

   Следовательно, $$y_{22}=17711>3100.$$

Ответ

а) $$y_{n+1}>y_n,\ n>2$$; б) $$y_{n+2}>2y_n,\ n>1$$; в) $$y_{n+3}>3y_n,\ n>1$$; г) $$y_{22}=17711>3100$$.