Упр.26.7 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (64a)^(1/3); в) (-343n)^(1/3); д) (-216y)^(1/3);
б) (-125x)^(1/3); г) (27b)^(1/3); е) (512m)^(1/3). Установите характер монотонности последовательности (y_n):
а) y_n=2-1/(3n); в) y_n=(n-2)/(2n);
б) y_n=1-(1/3)^n; г) y_n=3n/(n+3).

1. Вынесем множитель из-под знака кубического корня.

$$ \sqrt[3]{64a}=\sqrt[3]{4^3\cdot a}=4\sqrt[3]{a} $$
$$ \sqrt[3]{-125x}=-\sqrt[3]{5^3\cdot x}=-5\sqrt[3]{x} $$
$$ \sqrt[3]{-343n}=-\sqrt[3]{7^3\cdot n}=-7\sqrt[3]{n} $$
$$ \sqrt[3]{27b}=\sqrt[3]{3^3\cdot b}=3\sqrt[3]{b} $$
$$ \sqrt[3]{-216y}=-\sqrt[3]{6^3\cdot y}=-6\sqrt[3]{y} $$
$$ \sqrt[3]{512m}=\sqrt[3]{8^3\cdot m}=8\sqrt[3]{m} $$

2. Установим характер монотонности последовательности.

а) $$y_n=2-\frac{1}{3n}$$

Так как $$\frac{1}{3n}$$ убывает, то $$-\frac{1}{3n}$$ возрастает. Следовательно, и $$y_n$$ возрастает.

б) $$y_n=1-\left(\frac13\right)^n$$

Последовательность $$\left(\frac13\right)^n$$ убывает, значит $$-\left(\frac13\right)^n$$ возрастает. Следовательно, $$y_n$$ возрастает.

в) $$y_n=\frac{n-2}{2n}=\frac12-\frac1n$$

Так как $$\frac1n$$ убывает, то $$-\frac1n$$ возрастает. Следовательно, $$y_n$$ возрастает.

г) $$y_n=\frac{3n}{n+3}=3-\frac{9}{n+3}$$

Так как $$\frac{9}{n+3}$$ убывает, то $$-\frac{9}{n+3}$$ возрастает. Следовательно, $$y_n$$ возрастает.

Ответ

$$ \sqrt[3]{64a}=4\sqrt[3]{a},\quad \sqrt[3]{-125x}=-5\sqrt[3]{x},\quad \sqrt[3]{-343n}=-7\sqrt[3]{n}, $$
$$ \sqrt[3]{27b}=3\sqrt[3]{b},\quad \sqrt[3]{-216y}=-6\sqrt[3]{y},\quad \sqrt[3]{512m}=8\sqrt[3]{m}. $$
Последовательности а), б), в), г) — возрастающие.