Упр.26.22 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)= \begin{cases} -x^2-6x-5, & -5\leq x<0,\\ 2x-5, & 0\leq x<3,\\ \dfrac{3}{x}, & x\geq 3. \end{cases}$$
а) Постройте график функции $$y=f(x)$$;
б) прочитайте график;
в) найдите значения параметра $$p$$, при которых уравнение $$f(x)=p$$ имеет ровно три корня.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$f(x)= \begin{cases} -x^2-6x-5, & -5\le x<0,\\ 2x-5, & 0\le x<3,\\ \dfrac{3}{x}, & x\ge 3. \end{cases}$$

а) Построим график.

1) На промежутке $$[-5;0)$$ строим параболу $$y=-x^2-6x-5$$. Удобно переписать:

$$y=-(x+3)^2+4.$$

Это ветвь параболы, направленная вниз, с вершиной $$(-3;4)$$. На концах получаем точки:

$$f(-5)=0,\qquad f(0)=-5.$$

2) На промежутке $$[0;3)$$ строим прямую $$y=2x-5$$. Она проходит через точки $$(0;-5)$$ и $$(3;1)$$, причём точка $$(3;1)$$ не входит в этот участок графика.

3) На промежутке $$x\ge 3$$ строим график функции $$y=\dfrac{3}{x}$$. При $$x=3$$ получаем:

$$f(3)=1.$$

Значит, график начинается в точке $$(3;1)$$ и далее убывает.

Итак, график состоит из трёх частей: ветви параболы, отрезка прямой и ветви гиперболы.

б) Свойства функции.

$$D(f)=[-5;+\infty).$$

Функция не является ни чётной, ни нечётной.

Функция возрастает на $$[-5;-3]\cup[0;3]$$ и убывает на $$[-3;0]\cup[3;+\infty)$$.

Функция ограничена сверху и снизу:

$$y_{\min}=-5,\qquad y_{\max}=4.$$

Следовательно, множество значений:

$$E(f)=[-5;4].$$

Функция непрерывна на всей области определения.

Выпуклость:

$$\text{выпукла вверх на }(-5;0),\qquad \text{выпукла вниз на }(3;+\infty).$$

в) Найдём значения параметра $$p$$, при которых уравнение $$f(x)=p$$ имеет ровно три корня.

Рассмотрим пересечения графика с прямой $$y=p$$.

На участке $$[-5;0)$$ парабола даёт:

2 корня при $$0<p<4$$;
1 корень при $$p=4$$;
1 корень при $$p=0$$;
0 корней при $$p<0$$ или $$p>4$$.

На участке $$[0;3)$$ прямая $$y=2x-5$$ даёт один корень при $$-5\le p<1$$, а при $$p=1$$ корня нет, так как точка $$x=3$$ не входит в этот участок.

На участке $$x\ge 3$$ функция $$y=\dfrac{3}{x}$$ даёт один корень при $$0<p\le 1$$.

Ровно три корня получаются только при:

$$p=0 \quad \text{и} \quad p=1.$$

Ответ

а) График состоит из ветви параболы $$y=-x^2-6x-5$$ на $$[-5;0)$$, отрезка прямой $$y=2x-5$$ на $$[0;3)$$ и ветви гиперболы $$y=\dfrac{3}{x}$$ на $$x\ge 3$$.
б) $$D(f)=[-5;+\infty),\ E(f)=[-5;4]$$; функция не чётная и не нечётная; возрастает на $$[-5;-3]\cup[0;3]$$, убывает на $$[-3;0]\cup[3;+\infty)$$; $$y_{\min}=-5,\ y_{\max}=4$$.
в) $$p=0,\ 1$$.