Упр.26.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) {2(x+2y)-8/(x+2y)=-15, 3x-y=18};
б) {4(2x+3y)-10/(2x+3y)=3, 2x+y=-6}.

а) Обозначим $$t=x+2y.$$ Тогда первое уравнение системы примет вид

$$2t-\frac{8}{t}=-15.$$

Умножим на $$t$$:

$$2t^2+15t-8=0.$$

Найдём корни:

$$D=15^2-4\cdot 2\cdot(-8)=225+64=289,$$

$$t_{1,2}=\frac{-15\pm 17}{4}.$$

Отсюда

$$t_1=-8,\qquad t_2=\frac12.$$

Из второго уравнения системы

$$3x-y=18 \quad \Rightarrow \quad y=3x-18.$$

Тогда

$$t=x+2y=x+2(3x-18)=7x-36.$$

1) Если $$t=-8,$$ то

$$7x-36=-8,$$

$$7x=28,$$

$$x=4,$$

$$y=3\cdot 4-18=-6.$$

2) Если $$t=\frac12,$$ то

$$7x-36=\frac12,$$

$$7x=\frac{73}{2},$$

$$x=\frac{73}{14},$$

$$y=3\cdot \frac{73}{14}-18=-\frac{57}{14}.$$

б) Обозначим $$t=2x+3y.$$ Тогда первое уравнение системы запишется так:

$$4t-\frac{10}{t}=3.$$

Умножим на $$t$$:

$$4t^2-3t-10=0.$$

Найдём корни:

$$D=3^2-4\cdot 4\cdot(-10)=9+160=169,$$

$$t_{1,2}=\frac{3\pm 13}{8}.$$

Следовательно,

$$t_1=-\frac54,\qquad t_2=2.$$

Из второго уравнения

$$2x+y=-6 \quad \Rightarrow \quad y=-2x-6.$$

Тогда

$$t=2x+3y=2x+3(-2x-6)=-4x-18.$$

1) Если $$t=-\frac54,$$ то

$$-4x-18=-\frac54,$$

$$-4x=\frac{67}{4},$$

$$x=-\frac{67}{16},$$

$$y=-2\cdot\left(-\frac{67}{16}\right)-6=\frac{19}{8}.$$

2) Если $$t=2,$$ то

$$-4x-18=2,$$

$$-4x=20,$$

$$x=-5,$$

$$y=-2\cdot(-5)-6=4.$$

Ответ

а) $$\left(4;\,-6\right),\ \left(\frac{73}{14};\,-\frac{57}{14}\right);$$ б) $$\left(-5;\,4\right),\ \left(-\frac{67}{16};\,\frac{19}{8}\right).$$