Упр.26.12 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (81·5)^(1/3)·(-100)^(1/3); г) (16·9)^(1/3)·81^(1/3);
б) (500/49)^(1/3)·(16/7)^(1/3); д) (648/25)^(1/3)·(-9/5)^(1/3);
в) (25^(1/3)+36^(1/3))·30^(1/3); е) (7^(1/3)-21^(1/3))·49^(1/3). Последовательность задана формулой x_n=(3n+1)(n-3). Является ли членом последовательности число:
а) -8; б) -3; в) 0; г) 25?

Упростим выражения, используя свойство кубического корня: $$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}.$$

1. $$\sqrt[3]{81\cdot 5}\cdot \sqrt[3]{-100}=\sqrt[3]{81\cdot 5\cdot (-100)}=\sqrt[3]{-40500}$$
   $$-40500=-27\cdot 1500=-27\cdot 125\cdot 12,$$
   значит
   $$\sqrt[3]{-40500}=-\sqrt[3]{27\cdot 125\cdot 12}=-15\sqrt[3]{12}.$$
2. $$\sqrt[3]{\frac{500}{49}}\cdot \sqrt[3]{\frac{16}{7}}=\sqrt[3]{\frac{500\cdot 16}{49\cdot 7}}=\sqrt[3]{\frac{8000}{343}}$$
   $$=\sqrt[3]{\frac{20^3}{7^3}}=\frac{20}{7}=2\frac{6}{7}.$$
3. $$\left(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{36}\right)\cdot \sqrt[3]{30}=\sqrt[3]{25\cdot 30}+\sqrt[3]{36\cdot 30}$$
   $$=\sqrt[3]{750}+\sqrt[3]{1080}=\sqrt[3]{125\cdot 6}+\sqrt[3]{216\cdot 5}$$
   $$=5\sqrt[3]{6}+6\sqrt[3]{5}.$$
4. $$\sqrt[3]{16\cdot 9}\cdot \sqrt[3]{81}=\sqrt[3]{16\cdot 9\cdot 81}=\sqrt[3]{11664}$$
   $$=\sqrt[3]{8\cdot 729\cdot 2}=2\cdot 9\sqrt[3]{2}=18\sqrt[3]{2}.$$
5. $$\sqrt[3]{\frac{648}{25}}\cdot \sqrt[3]{-\frac{9}{5}}=\sqrt[3]{-\frac{648\cdot 9}{125}}=\sqrt[3]{-\frac{5832}{125}}$$
   $$=-\sqrt[3]{\frac{27\cdot 216}{125}}=-\frac{3\cdot 6}{5}=-\frac{18}{5}=-3{,}6.$$
6. $$\left(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{21}\right)\cdot \sqrt[3]{49}=\sqrt[3]{343}-\sqrt[3]{1029}$$
   $$=7-\sqrt[3]{343\cdot 3}=7-7\sqrt[3]{3}.$$

Рассмотрим последовательность $$x_n=(3n+1)(n-3).$$ Проверим, является ли заданное число её членом.

1. $$x_n=-8$$
   $$3n^2-9n+n-3=-8$$
   $$3n^2-8n+5=0$$
   $$D=8^2-4\cdot 3\cdot 5=64-60=4,$$
   $$n_{1,2}=\frac{8\pm 2}{2\cdot 3}$$
   $$n_1=1,\quad n_2=\frac{5}{3}.$$
   Подходит $$n=1$$, значит число $$-8$$ является членом последовательности.
2. $$x_n=-3$$
   $$3n^2-9n+n-3=-3$$
   $$3n^2-8n=0$$
   $$n(3n-8)=0,$$
   $$n_1=0,\quad n_2=\frac{8}{3}.$$
   Ни одно значение не является натуральным номером, значит число $$-3$$ не является членом последовательности.
3. $$x_n=0$$
   $$\left(3n+1\right)(n-3)=0,$$
   $$n_1=-\frac{1}{3},\quad n_2=3.$$
   Подходит $$n=3$$, значит число $$0$$ является членом последовательности.
4. $$x_n=25$$
   $$3n^2-9n+n-3=25$$
   $$3n^2-8n-28=0$$
   $$D=8^2-4\cdot 3\cdot (-28)=64+336=400,$$
   $$n_{1,2}=\frac{8\pm 20}{2\cdot 3}$$
   $$n_1=-2,\quad n_2=\frac{14}{3}.$$
   Натуральных решений нет, значит число $$25$$ не является членом последовательности.

Ответ

а) $$-15\sqrt[3]{12}$$; б) $$2\frac{6}{7}$$; в) $$5\sqrt[3]{6}+6\sqrt[3]{5}$$; г) $$18\sqrt[3]{2}$$; д) $$-3{,}6$$; е) $$7-7\sqrt[3]{3}$$; для последовательности: а) да; б) нет; в) да; г) нет.