Упр.25.7 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что функция возрастает: а) $$y=\frac{x^3}{3}$$; б) $$y=x^3-4$$; в) $$y=(x-7)^3+1$$; г) $$y=2x^3$$; д) $$y=x^3+6$$; е) $$y=(x+11)^3-8$$.
- Задание учебника 2023 года. Постройте график данной функции: а) $$y=\lvert x^3+4\rvert$$; б) $$y=\left\lvert x^{\frac{1}{3}}+2\right\rvert$$; в) $$y=\left\lvert (x-3)^{\frac{1}{3}}+1\right\rvert$$; г) $$y=\lvert -x^3-6\rvert$$; д) $$y=\left\lvert (x-4)^{\frac{1}{3}}\right\rvert$$; е) $$y=\left\lvert (x+5)^{\frac{1}{3}}-2\right\rvert$$.
Функция $$y=x^3$$ возрастает на всей числовой прямой. Поэтому при $$x_2>x_1$$ всегда выполняется $$x_2^3>x_1^3$$. Если к возрастающей функции прибавить или вычесть число, умножить её на положительное число, а также заменить аргумент на $$x-a$$ или $$x+a$$, то функция останется возрастающей.
Докажем возрастание функций:
а) $$y=\frac{x^3}{3}$$. Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$, значит
$$\frac{x_2^3}{3}>\frac{x_1^3}{3}.$$
б) $$y=x^3-4$$. Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$, значит
$$x_2^3-4>x_1^3-4.$$
в) $$y=(x-7)^3+1$$. Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2-7>x_1-7$$, значит
$$(x_2-7)^3>(x_1-7)^3,$$
следовательно,
$$(x_2-7)^3+1>(x_1-7)^3+1.$$
г) $$y=2x^3$$. Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$, значит
$$2x_2^3>2x_1^3.$$
д) $$y=x^3+6$$. Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$, значит
$$x_2^3+6>x_1^3+6.$$
е) $$y=(x+11)^3-8$$. Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2+11>x_1+11$$, значит
$$(x_2+11)^3>(x_1+11)^3,$$
следовательно,
$$(x_2+11)^3-8>(x_1+11)^3-8.$$
Построим графики функций с модулем, используя график исходной функции и отражая его часть, лежащую ниже оси $$Ox$$, вверх.
а) $$y=|x^3+4|$$. Это график функции $$y=x^3+4$$, у которого все отрицательные значения заменены противоположными. Нуль функции: $$x^3+4=0$$, то есть $$x=-\sqrt[3]{4}.$$
б) $$y=\left|\sqrt[3]{x}+2\right|$$. Нуль функции: $$\sqrt[3]{x}+2=0$$, значит $$x=-8.$$
в) $$y=\left|\sqrt[3]{x-3}+1\right|$$. Нуль функции: $$\sqrt[3]{x-3}+1=0$$, значит $$x=2.$$
г) $$y=|-x^3-6|=|x^3+6|$$. Нуль функции: $$x^3+6=0$$, значит $$x=-\sqrt[3]{6}.$$
д) $$y=\left|\sqrt[3]{x-4}\right|.$$ Здесь модуль убирает отрицательные значения корня, поэтому график симметричен относительно оси $$Oy$$ в точке $$x=4$$ и имеет вершину в точке $$(4,0).$$
е) $$y=\left|\sqrt[3]{x+5}-2\right|.$$ Нуль функции: $$\sqrt[3]{x+5}-2=0$$, значит $$x=3.$$
Ответ
Все данные функции возрастают. Графики функций с модулем строятся отражением отрицательной части соответствующего графика вверх; нули функций: а) $$x=-\sqrt[3]{4}$$, б) $$x=-8$$, в) $$x=2$$, г) $$x=-\sqrt[3]{6}$$, д) $$x=4$$, е) $$x=3$$.
