Упр.25.6 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) Найдите f(0), f(2), f(3);
б) решите уравнение f(x)=9;
в) решите неравенство f(x)?0;
г) найдите промежутки, на которых функция выпукла вверх, выпукла вниз. Постройте график данной функции:
а) y=|-3/(x+2)|; г) y=|4/(x-3)|;
б) y=|6/x+2|; д) y=|-2/x-4|;
в) y=|-2/(x-1)+3|; е) y=|3/(x+3)-2|.

Подробный ответ

Дана функция $$f(x)=-(x-2)^2+1.$$

а) Найдём значения функции:

$$f(0)=-(0-2)^2+1=-4+1=-3,$$
$$f(2)=-(2-2)^2+1=0+1=1,$$
$$f(3)=-(3-2)^2+1=-1+1=0.$$

б) Решим уравнение $$f(x)=9$$:

$$-(x-2)^2+1=9$$
$$-(x-2)^2=8$$
$$(x-2)^2=-8.$$

Квадрат числа не может быть отрицательным, значит, решений нет.

в) Решим неравенство $$f(x)\ge 0$$:

$$-(x-2)^2+1\ge 0$$
$$-(x-2)^2\ge -1$$
$$ (x-2)^2\le 1$$
$$-1\le x-2\le 1$$
$$1\le x\le 3.$$

г) График функции $$y=-(x-2)^2+1$$ — парабола, ветви направлены вниз. Поэтому функция выпукла вниз на всей области определения и не выпукла вверх ни на каком промежутке.

Построение графиков:

а) $$y=\left|\frac{-3}{x+2}\right|=\frac{3}{|x+2|}.$$

Область определения: $$x\ne -2.$$ Асимптоты: $$x=-2$$ и $$y=0.$$ График состоит из двух ветвей выше оси $$Ox$$, симметричных относительно прямой $$x=-2.$$

б) $$y=\left|\frac{6}{x}+2\right|.$$

Область определения: $$x\ne 0.$$ Асимптота: $$x=0.$$ Для построения удобно отметить точку пересечения с осью $$Ox$$: $$\frac{6}{x}+2=0,\ x=-3.$$

в) $$y=\left|-\frac{2}{x-1}+3\right|.$$

Область определения: $$x\ne 1.$$ Асимптота: $$x=1.$$ Точка пересечения с осью $$Ox$$ находится из уравнения $$-\frac{2}{x-1}+3=0,$$ откуда $$x=\frac{5}{3}.$$

г) $$y=\left|\frac{4}{x-3}\right|=\frac{4}{|x-3|}.$$

Область определения: $$x\ne 3.$$ Асимптоты: $$x=3$$ и $$y=0.$$ График расположен выше оси $$Ox$$.

д) $$y=\left|-\frac{2}{x}-4\right|.$$

Область определения: $$x\ne 0.$$ Асимптота: $$x=0.$$ Для построения удобно рассмотреть выражение внутри модуля: $$-\frac{2}{x}-4=0 \Rightarrow x=-\frac12.$$

е) $$y=\left|\frac{3}{x+3}-2\right|.$$

Область определения: $$x\ne -3.$$ Асимптота: $$x=-3.$$ Точка пересечения с осью $$Ox$$: $$\frac{3}{x+3}-2=0,\ x=-\frac32.$$