Упр.25.5 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) Найдите f(-3), f(0), f(1);
б) решите уравнение f(x)=-10;
в) решите неравенство f(x)?0;
г) найдите промежутки, на которых функция выпукла вверх, выпукла вниз. Постройте график данной функции:
а) y=|2/3 x-2|; г) y=|-2x+3|;
б) y=|-x^2+1|; д) y=|x^2+4|;
в) y=|x^2-6x+8|; е) y=|-x^2-2x+3|.

Дана функция $$f(x)=(x+1)^2-2.$$

а) Найдём значения функции:

$$f(-3)=(-3+1)^2-2=(-2)^2-2=4-2=2,$$
$$f(0)=(0+1)^2-2=1-2=-1,$$
$$f(1)=(1+1)^2-2=4-2=2.$$

б) Решим уравнение $$f(x)=-10$$:

$$ (x+1)^2-2=-10 \\ (x+1)^2=-8 $$

Квадрат числа не может быть отрицательным, значит, решений нет.

в) Решим неравенство $$f(x)\ge 0$$:

$$ (x+1)^2-2\ge 0 \\ (x+1)^2\ge 2 \\ |x+1|\ge \sqrt{2} $$

$$ x+1\le -\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x+1\ge \sqrt{2} $$

$$ x\le -1-\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x\ge -1+\sqrt{2}. $$

г) Парабола $$y=(x+1)^2-2$$ ветвями направлена вверх, поэтому функция выпукла вниз на всей области определения и не выпукла вверх ни на каком промежутке.

Построение графиков функций с модулем

а) $$y=\left|\frac{2}{3}x-2\right|$$

Нуль выражения под модулем: $$\frac{2}{3}x-2=0,\; x=3.$$
График — V-образная ломаная с вершиной $$\left(3,0\right)$$.

б) $$y=|-x^2+1|=|1-x^2|$$

Нули: $$1-x^2=0,\; x=\pm 1.$$
На отрезке $$[-1;1]$$ график совпадает с $$y=1-x^2$$, вне этого отрезка отражается вверх.

в) $$y=|x^2-6x+8|=|(x-2)(x-4)|$$

Нули: $$x=2$$ и $$x=4.$$
Между ними график параболы $$y=x^2-6x+8$$ расположен ниже оси $$Ox$$, поэтому эта часть отражается вверх.

г) $$y=|-2x+3|$$

Нуль: $$-2x+3=0,\; x=\frac{3}{2}.$$
Вершина графика: $$\left(\frac{3}{2},0\right).$$

д) $$y=|x^2+4|=x^2+4$$, так как $$x^2+4>0$$ при всех $$x.$$
График — парабола с вершиной $$\left(0,4\right).$$

е) $$y=|-x^2-2x+3|=|-(x^2+2x-3)|=|-(x+3)(x-1)|$$

Нули: $$x=-3$$ и $$x=1.$$
На промежутке $$[-3;1]$$ график исходной параболы расположен ниже оси $$Ox$$, поэтому эта часть отражается вверх.

Ответ

а) $$f(-3)=2,\; f(0)=-1,\; f(1)=2$$;
б) корней нет;
в) $$(-\infty;\,-1-\sqrt{2}] \cup [-1+\sqrt{2};\,+\infty)$$;
г) функция выпукла вниз на всей области определения, выпукла вверх нигде.