Упр.25.4 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) f(x)=x^3+1, x?[-2; 1];
б) f(x)=-(x+1)^3-3, x?[-1; +?);
в) f(x)=(x-4)^3+3, x?(2; 5];
г) f(x)=x^3-2, x?(-1; 2];
д) f(x)=-(x-2)^3+1, x?(-?; 3];
е) f(x)=(x+3)^3-1, x?[-4; -1]. Постройте на двух чертежах графики каждой пары заданных функций:
а) y=x^3-1 и y=|x^3-1|;
б) y=x^(1/3)-1 и y=|x^(1/3)-1|;
в) y=(x+4)^(1/3)-1 и y=|(x+4)^(1/3)-1|;
г) y=-x^3+1 и y=|-x^3+1|;
д) y=x^(1/3)+2 и y=|x^(1/3)+2|;
е) y=(x+2)^(1/3)-2 и y=|(x+2)^(1/3)-2|.

1. Для функций вида $$y=x^3+c$$ и $$y=(x-a)^3+b$$ на заданном промежутке достаточно проверить значения на концах промежутка, так как кубическая функция монотонно возрастает.

   а) $$f(x)=x^3+1,\quad x\in[-2;1]$$

   $$f(-2)=(-2)^3+1=-8+1=-7$$
   
   $$f(1)=1^3+1=2$$

   Наименьшее значение: $$-7$$, наибольшее значение: $$2$$.

   б) $$f(x)=-(x+1)^3-3,\quad x\in[-1;+\infty)$$

   Функция убывает, поэтому наименьшее значение достигается при $$x=-1$$:
   
   $$f(-1)=-( -1+1)^3-3=0-3=-3$$

   При $$x\to+\infty$$ значение функции уходит в $$-\infty$$, значит наибольшего значения нет.

   в) $$f(x)=(x-4)^3+3,\quad x\in(2;5]$$

   Функция возрастает, поэтому наибольшее значение достигается при $$x=5$$:
   
   $$f(5)=(5-4)^3+3=1+3=4$$

   При $$x\to 2+$$ значение стремится к $$(-2)^3+3=-5$$, но точка $$x=2$$ не входит в промежуток, значит наименьшего значения нет.

   г) $$f(x)=x^3-2,\quad x\in(-1;2]$$

   Функция возрастает, поэтому наибольшее значение достигается при $$x=2$$:
   
   $$f(2)=2^3-2=8-2=6$$

   При $$x\to -1+$$ значение стремится к $$(-1)^3-2=-3$$, но точка $$x=-1$$ не входит в промежуток, значит наименьшего значения нет.

   д) $$f(x)=-(x-2)^3+1,\quad x\in(-\infty;3]$$

   Функция убывает, поэтому наибольшее значение достигается при наименьших $$x$$, а при $$x\to-\infty$$ значение функции стремится к $$+\infty$$, значит наибольшего значения нет.

   Наименьшее значение достигается при $$x=3$$:
   
   $$f(3)=-(3-2)^3+1=-1+1=0$$

   е) $$f(x)=(x+3)^3-1,\quad x\in[-4;-1]$$

   Функция возрастает, поэтому
   
   $$f(-4)=(-4+3)^3-1=(-1)^3-1=-2$$
   
   $$f(-1)=(-1+3)^3-1=2^3-1=7$$

   Наименьшее значение: $$-2$$, наибольшее значение: $$7$$.

2. При построении графика функции вида $$y=|f(x)|$$ часть графика $$y=f(x)$$, лежащая ниже оси $$Ox$$, отражается симметрично относительно этой оси.

   а) $$y=x^3-1,\quad y=|x^3-1|$$

   График $$y=|x^3-1|$$ получается отражением части графика $$y=x^3-1$$, расположенной ниже оси $$Ox$$.

   б) $$y=\sqrt[3]{x}-1,\quad y=\left|\sqrt[3]{x}-1\right|$$

   График $$y=\left|\sqrt[3]{x}-1\right|$$ строится отражением отрицательной части графика $$y=\sqrt[3]{x}-1$$.

   в) $$y=\sqrt[3]{x+4}-1,\quad y=\left|\sqrt[3]{x+4}-1\right|$$

   График $$y=\left|\sqrt[3]{x+4}-1\right|$$ получается аналогично отражением части графика ниже оси $$Ox$$.

   г) $$y=-x^3+1,\quad y=\left|-x^3+1\right|$$

   Нижняя часть графика $$y=-x^3+1$$ отражается относительно оси $$Ox$$.

   д) $$y=\sqrt[3]{x}+2,\quad y=\left|\sqrt[3]{x}+2\right|$$

   Так как $$\sqrt[3]{x}+2\ge 0$$ не для всех $$x$$, отрицательная часть графика отражается вверх.

   е) $$y=\sqrt[3]{x+2}-2,\quad y=\left|\sqrt[3]{x+2}-2\right|$$

   Часть графика ниже оси $$Ox$$ отражается симметрично относительно этой оси.

Ответ

а) $$-7; 2$$
б) наименьшее значение $$-3$$, наибольшего нет;
в) наибольшое значение $$4$$, наименьшего нет;
г) наибольшее значение $$6$$, наименьшего нет;
д) наименьшее значение $$0$$, наибольшего нет;
е) $$-2; 7$$.