Упр.25.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (2a+b)/(ab)·1/(4a^2+b^2+4ab)·(b^2-4a^2) при a=v5-1, b=2+2v5;
б) (m^3+n^3+3n^2+3n+1)/(m^2-mn-m+(n+1)^2) при m=-(3+3^(1/5)), n=3^(1/5)+11.

а) Упростим выражение:

$$\frac{2a+b}{ab}\cdot \frac{1}{4a^2+b^2+4ab}\cdot (b^2-4a^2)$$

Заметим, что

$$4a^2+b^2+4ab=(b+2a)^2,$$

$$b^2-4a^2=(b-2a)(b+2a).$$

Тогда

$$\frac{2a+b}{ab}\cdot \frac{(b-2a)(b+2a)}{(b+2a)^2}=\frac{b-2a}{ab}.$$

Подставим $$a=\sqrt{5}-1,$$ $$b=2+2\sqrt{5}$$:

$$\frac{b-2a}{ab}=\frac{(2+2\sqrt{5})-2(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}-1)(2+2\sqrt{5})}$$

$$=\frac{2+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}+2}{2\sqrt{5}+10-2-2\sqrt{5}}=\frac{4}{8}=\frac12.$$

б) Упростим выражение:

$$\frac{m^3+n^3+3n^2+3n+1}{m^2-mn-m+(n+1)^2}$$

Так как $$n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3,$$ получаем:

$$\frac{m^3+(n+1)^3}{m^2-mn-m+(n+1)^2}.$$

Числитель раскладывается по формуле суммы кубов:

$$m^3+(n+1)^3=(m+n+1)\bigl(m^2-m(n+1)+(n+1)^2\bigr).$$

Знаменатель:

$$m^2-mn-m+(n+1)^2=m^2-m(n+1)+(n+1)^2.$$

Сокращаем дробь:

$$\frac{(m+n+1)\bigl(m^2-m(n+1)+(n+1)^2\bigr)}{m^2-m(n+1)+(n+1)^2}=m+n+1.$$

Подставим $$m=-(3+\sqrt[5]{3}),$$ $$n=\sqrt[5]{3}+11$$:

$$m+n+1=-(3+\sqrt[5]{3})+(\sqrt[5]{3}+11)+1=9.$$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$9$$.