Упр.25.17 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений: а) $$\begin{cases}3x^2-2y=69,\\x^2y=75;\end{cases}$$ б) $$\begin{cases}-3x+2y^2=29,\\xy^2=175.\end{cases}$$
- Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=|x|+|x-5|$$. При каких значениях параметра $$p$$ график функции $$y=f(x)$$ и прямая $$y=p$$: а) имеют одну общую точку; б) имеют две общие точки; в) имеют одну или две общие точки; г) не имеют общих точек; д) имеют хотя бы одну общую точку; е) имеют более двух общих точек?
а) Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$x^2y=75,\qquad y=\frac{75}{x^2},\qquad x\ne 0.$$
Подставим в первое уравнение:
$$3x^2-2\cdot \frac{75}{x^2}=69.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$3x^4-69x^2-150=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$3t^2-69t-150=0,$$
$$t^2-23t-50=0.$$
$$D=23^2+4\cdot 50=729,$$
$$t_{1,2}=\frac{23\pm 27}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=-2 \;(\text{не подходит}),\qquad t_2=25.$$
Значит, $$x^2=25,$$ откуда $$x=\pm 5.$$
Тогда
$$y=\frac{75}{25}=3.$$
Ответ: $$(-5;3),\ (5;3).$$
б) Из второго уравнения выразим $$y^2$$:
$$xy^2=175,\qquad y^2=\frac{175}{x},\qquad x\ne 0.$$
Подставим в первое уравнение:
$$-3x+2\cdot \frac{175}{x}=29.$$
Умножим на $$x$$:
$$-3x^2+350=29x,$$
$$3x^2+29x-350=0.$$
$$D=29^2+4\cdot 3\cdot 350=5041,$$
$$\sqrt{D}=71.$$
Тогда
$$x_{1,2}=\frac{-29\pm 71}{6}.$$
Получаем:
$$x_1=-\frac{50}{3},\qquad x_2=7.$$
Проверим по формуле $$y^2=\frac{175}{x}$$:
при $$x=7$$ имеем $$y^2=25,$$ значит $$y=\pm 5$$;
при $$x=-\frac{50}{3}$$ получаем $$y^2<0,$$ действительных решений нет.
Ответ: $$(7;-5),\ (7;5).$$
Функция $$f(x)=|x|+|x-5|.$$
Рассмотрим по промежуткам:
если $$x\le 0,$$ то
$$f(x)=-x+(5-x)=5-2x;$$
если $$0\le x\le 5,$$ то
$$f(x)=x+(5-x)=5;$$
если $$x\ge 5,$$ то
$$f(x)=x+(x-5)=2x-5.$$
Минимальное значение функции равно $$5$$, и оно достигается при всех $$x\in[0;5].$$
Значит, прямая $$y=p$$:
- не пересекает график при $$p<5$$;
- касается графика на отрезке $$[0;5]$$ при $$p=5$$;
- пересекает график в двух точках при $$p>5$$.
Отсюда:
а) одна общая точка — $$p\in\varnothing$$;
б) две общие точки — $$p\in(5;+\infty);$$
в) одна или две общие точки — $$p\in[5;+\infty);$$
г) не имеют общих точек — $$p\in(-\infty;5);$$
д) имеют хотя бы одну общую точку — $$p\in[5;+\infty);$$
е) более двух общих точек — таких значений нет.
Ответ
а) $$(-5;3),\ (5;3)$$; б) $$(7;-5),\ (7;5)$$; для функции: а) $$\varnothing$$, б) $$p\in(5;+\infty)$$, в) $$p\in[5;+\infty)$$, г) $$p\in(-\infty;5)$$, д) $$p\in[5;+\infty)$$, е) таких значений нет.
