Упр.25.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) x^4-12x^2+36=0; в) x^4-16x^2+64=0;
в) x^4-6x^2-27=0; г) x^4+15x^2-16=0. Дана функция y=f(x). Постройте график функции и, используя график, для каждого значения параметра р укажите, сколько корней имеет уравнение f(x)=p:
а) f(x)=(x-x^3)/(|x|-1); г) f(x)=(x-x^3)/|x-1|;
б) f(x)=|x|/(x-1); д) f(x)=x/(|x|+2);
в) f(x)=x/|x-2|; е) f(x)=x/(|x|-2).
а) $$x^4-12x^2+36=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-12t+36=0$$
$$\left(t-6\right)^2=0,\quad t=6$$
$$x^2=6,\quad x=\pm\sqrt6$$
б) $$x^4-6x^2-27=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-6t-27=0$$
$$D=36+108=144$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm12}{2}$$
$$t_1=-3,\quad t_2=9$$
Так как $$x^2\ge 0$$, значение $$t=-3$$ не подходит. Получаем
$$x^2=9,\quad x=\pm3$$
в) $$x^4-16x^2+64=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-16t+64=0$$
$$\left(t-8\right)^2=0,\quad t=8$$
$$x^2=8,\quad x=\pm2\sqrt2$$
г) $$x^4+15x^2-16=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2+15t-16=0$$
$$D=15^2+4\cdot16=225+64=289$$
$$t_{1,2}=\frac{-15\pm17}{2}$$
$$t_1=-16,\quad t_2=1$$
Так как $$x^2\ge 0$$, значение $$t=-16$$ не подходит. Получаем
$$x^2=1,\quad x=\pm1$$
Ответ
а) $$x=-\sqrt6,\ \sqrt6$$;
б) $$x=-3,\ 3$$;
в) $$x=-2\sqrt2,\ 2\sqrt2$$;
г) $$x=-1,\ 1$$.
Ход решения
а) $$f(x)=\dfrac{x-x^3}{|x|-1}$$
При $$x\ge 0$$:
$$f(x)=\dfrac{x-x^3}{x-1}=-x^2-x$$
При $$x<0$$:
$$f(x)=\dfrac{x-x^3}{-x-1}=x^2-x$$
По графику: один корень при $$p\in\mathbb R,\ p\ne \pm2$$; нет корней при $$p\in\{-2;\,2\}$$.
б) $$f(x)=\dfrac{|x|}{x-1}$$
При $$x\ge 0$$:
$$f(x)=\dfrac{x}{x-1}=1+\dfrac1{x-1}$$
При $$x<0$$:
$$f(x)=\dfrac{-x}{x-1}=-1-\dfrac1{x-1}$$
По графику: один корень при $$p\in(-\infty;\,-1]\cup\{0\}\cup(1;\,+\infty)$$; два корня при $$p\in(-1;\,0)$$; нет корней при $$p\in(0;\,1]$$.
в) $$f(x)=\dfrac{x}{|x-2|}$$
При $$x>2$$:
$$f(x)=\dfrac{x}{x-2}=1+\dfrac2{x-2}$$
При $$x<2$$:
$$f(x)=\dfrac{x}{2-x}=-1-\dfrac2{x-2}$$
По графику: один корень при $$p\in(-\infty;\,-2]\cup\{-0{,}25\}\cup[2;\,+\infty)$$; два корня при $$p\in(-0{,}25;\,2)$$; нет корней при $$p\in[-2;\,-0{,}25)$$.
г) $$f(x)=\dfrac{x-x^3}{|x-1|}$$
При $$x>1$$:
$$f(x)=\dfrac{x-x^3}{x-1}=-x^2-x$$
При $$x<1$$:
$$f(x)=\dfrac{x-x^3}{1-x}=x^2+x$$
По графику: один корень при $$p\in(-\infty;\,-2)\cup\{-0{,}25\}\cup[2;\,+\infty)$$; два корня при $$p\in(-0{,}25;\,2)$$; нет корней при $$p\in[-2;\,-0{,}25)$$.
д) $$f(x)=\dfrac{x}{|x|+2}$$
При $$x\ge 0$$:
$$f(x)=\dfrac{x}{x+2}=1-\dfrac2{x+2}$$
При $$x<0$$:
$$f(x)=\dfrac{x}{-x+2}=-1-\dfrac2{x-2}$$
По графику: один корень при $$p\in(-1;\,1)$$; нет корней при $$p\in(-\infty;\,-1]\cup[1;\,+\infty)$$.
е) $$f(x)=\dfrac{x}{|x|-2}$$
При $$x\ge 0$$:
$$f(x)=\dfrac{x}{x-2}=1+\dfrac2{x-2}$$
При $$x<0$$:
$$f(x)=\dfrac{x}{-x-2}=\dfrac2{x+2}-1$$
По графику: один корень при $$p\in[-1;\,1]$$; два корня при $$p\in(-\infty;\,-1)\cup(1;\,+\infty)$$.
Ответ
а) один корень при $$p\in\mathbb R,\ p\ne \pm2$$; нет корней при $$p\in\{-2;\,2\}$$.
б) один корень при $$p\in(-\infty;\,-1]\cup\{0\}\cup(1;\,+\infty)$$; два корня при $$p\in(-1;\,0)$$; нет корней при $$p\in(0;\,1]$$.
в) один корень при $$p\in(-\infty;\,-2]\cup\{-0{,}25\}\cup[2;\,+\infty)$$; два корня при $$p\in(-0{,}25;\,2)$$; нет корней при $$p\in[-2;\,-0{,}25)$$.
г) один корень при $$p\in(-\infty;\,-2)\cup\{-0{,}25\}\cup[2;\,+\infty)$$; два корня при $$p\in(-0{,}25;\,2)$$; нет корней при $$p\in[-2;\,-0{,}25)$$.
д) один корень при $$p\in(-1;\,1)$$; нет корней при $$p\in(-\infty;\,-1]\cup[1;\,+\infty)$$.
е) один корень при $$p\in[-1;\,1]$$; два корня при $$p\in(-\infty;\,-1)\cup(1;\,+\infty)$$.
