Упр.25.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) (x+1)^3<1; г) (x-4)^3>-1;
б) -x^3?2x+3; д) x^3?-1/2 x-9;
в) (x-1)^3?x+5; е) -(x+2)^3>1/3 x+2. Постройте график данной функции:
а) y=-4/(|x|+2); г) y=5/(|x|-3);
б) y=-2/(|x|+3)-1; д) y=6/(|x|-2)+1;
в) y=3|x|/(|x|-2); е) y=(2|x|-1)/(|x|+1).
а) $$\left(x+1\right)^3<1$$
Так как функция $$y=x^3$$ возрастает, то
$$x+1<1$$
$$x<0$$
Следовательно, $$x\in(-\infty;0)$$.
б) $$-x^3\ge 2x+3$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$-x^3-2x-3\ge 0$$
$$x^3+2x+3\le 0$$
Проверим корень $$x=-1$$:
$$(-1)^3+2\cdot(-1)+3=0$$
Тогда
$$x^3+2x+3=(x+1)(x^2-x+3)$$
Так как $$x^2-x+3>0$$ при всех $$x$$, то
$$x+1\le 0$$
$$x\le -1$$
Следовательно, $$x\in(-\infty;-1]$$.
в) $$\left(x-1\right)^3\le x+5$$
Рассмотрим графики функций $$y=\left(x-1\right)^3$$ и $$y=x+5$$. Точка их пересечения находится из уравнения
$$\left(x-1\right)^3=x+5$$
Проверим $$x=3$$:
$$\left(3-1\right)^3=8,\qquad 3+5=8$$
Значит, графики пересекаются при $$x=3$$, а неравенство выполняется слева от этой точки:
$$x\in(-\infty;3]$$.
г) $$\left(x-4\right)^3>-1$$
Так как функция $$y=x^3$$ возрастает, то
$$x-4>-1$$
$$x>3$$
Следовательно, $$x\in(3;+\infty)$$.
д) $$x^3\le -\frac12x-9$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^3+\frac12x+9\le 0$$
Проверим $$x=-2$$:
$$(-2)^3+\frac12\cdot(-2)+9=-8-1+9=0$$
Тогда
$$x^3+\frac12x+9=(x+2)\left(x^2-2x+\frac92\right)$$
Так как $$x^2-2x+\frac92>0$$ при всех $$x$$, получаем
$$x+2\le 0$$
$$x\le -2$$
Следовательно, $$x\in(-\infty;-2]$$.
е) $$-\left(x+2\right)^3>\frac13x+2$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$-\left(x+2\right)^3-\frac13x-2>0$$
Проверим $$x=-3$$:
$$-\left(-3+2\right)^3-\frac13\cdot(-3)-2=1+1-2=0$$
Значит, точка пересечения соответствует $$x=-3$$, и неравенство выполняется слева от неё:
$$x\in(-\infty;-3)$$.
Ответ
а) $$(-\infty;0)$$; б) $$(-\infty;-1]$$; в) $$(-\infty;3]$$; г) $$ (3;+\infty)$$; д) $$(-\infty;-2]$$; е) $$(-\infty;-3)$$.
Ход решения
а) $$y=-\frac{4}{|x|+2}$$
Область определения: $$x\in\mathbb{R}$$, так как $$|x|+2>0$$ при всех $$x$$.
Функция чётная, график симметричен относительно оси $$Oy$$.
Ключевые точки: $$x=0,\ y=-2$$; при $$|x|\to\infty$$ имеем $$y\to 0^-$$.
Горизонтальная асимптота: $$y=0$$.
б) $$y=-\frac{2}{|x|+3}-1$$
Область определения: $$x\in\mathbb{R}$$.
Функция чётная.
Ключевая точка: $$x=0,\ y=-\frac23-1=-\frac53$$.
При $$|x|\to\infty$$: $$y\to -1^-$$, значит, горизонтальная асимптота $$y=-1$$.
в) $$y=\frac{3|x|}{|x|-2}$$
Область определения: $$|x|-2\ne 0$$, то есть $$x\ne \pm 2$$.
Функция чётная.
Вертикальные асимптоты: $$x=-2$$ и $$x=2$$.
Точка пересечения с осями: $$x=0,\ y=0$$.
г) $$y=\frac{5}{|x|-3}$$
Область определения: $$x\ne \pm 3$$.
Функция чётная.
Вертикальные асимптоты: $$x=-3$$ и $$x=3$$.
При $$|x|\to\infty$$: $$y\to 0$$, значит, горизонтальная асимптота $$y=0$$.
д) $$y=\frac{6}{|x|-2}+1$$
Область определения: $$x\ne \pm 2$$.
Функция чётная.
Вертикальные асимптоты: $$x=-2$$ и $$x=2$$.
Горизонтальная асимптота: $$y=1$$.
е) $$y=\frac{2|x|-1}{|x|+1}=2-\frac{3}{|x|+1}$$
Область определения: $$x\in\mathbb{R}$$.
Функция чётная.
Ключевая точка: $$x=0,\ y=-1$$.
При $$|x|\to\infty$$: $$y\to 2^-$$, значит, горизонтальная асимптота $$y=2$$.
Ответ
а) чётная функция, $$D(y)=\mathbb{R}$$, асимптота $$y=0$$, точка $$\left(0;-2\right)$$;
б) чётная функция, $$D(y)=\mathbb{R}$$, асимптота $$y=-1$$, точка $$\left(0;-\frac53\right)$$;
в) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}$$, асимптоты $$x=\pm 2$$, точка $$\left(0;0\right)$$;
г) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}$$, асимптоты $$x=\pm 3$$, $$y=0$$;
д) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-2;2\}$$, асимптоты $$x=\pm 2$$, $$y=1$$;
е) $$D(y)=\mathbb{R}$$, асимптота $$y=2$$, точка $$\left(0;-1\right)$$.
