Упр.25.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Постройте и прочитайте график данной функции:

а) $$f(x)=\begin{cases}-x^3, & \text{если } x<0;\\ \sqrt{x}, & \text{если } x\geq 0;\end{cases}$$
б) $$f(x)=\begin{cases}x^3, & \text{если } x\leq 0;\\ \frac{4}{x}, & \text{если } x>0;\end{cases}$$

в) $$f(x)=\begin{cases}\frac{6}{x+3}, & \text{если } x<-3;\\ (x+3)^3-2, & \text{если } x\geq -3;\end{cases}$$
г) $$f(x)=\begin{cases}x, & \text{если } x<-1;\\ x^3, & \text{если } x\geq -1;\end{cases}$$
д) $$f(x)=\begin{cases}-\frac{3}{x}, & \text{если } x<0;\\ -x^3, & \text{если } x\geq 0;\end{cases}$$
е) $$f(x)=\begin{cases}-(x-2)^3+1, & \text{если } x<2;\\ |x-4|-1, & \text{если } x\geq 2.\end{cases}$$
Постройте на двух чертежах графики каждой пары заданных функций:

а) $$y=x^3-4$$ и $$y=|x|^3-4$$;

б) $$y=x^{1/3}+2$$ и $$y=|x|^{1/3}+2$$;

в) $$y=(x+4)^{1/3}-1$$ и $$y=|x+4|^{1/3}-1$$;

г) $$y=-x^3+4$$ и $$y=-|x|^3+4$$;

д) $$y=x^{1/3}-1$$ и $$y=|x|^{1/3}-1$$;

е) $$y=(x+2)^{1/3}-2$$ и $$y=|x+2|^{1/3}-2$$.

Подробный ответ

Во всех пунктах нужно построить график кусочной функции, а затем по нему прочитать основные свойства: область определения, промежутки возрастания и убывания, значения функции, точки разрыва и т. д.

а) $$f(x)=\begin{cases}-x^3, & x<0,\\ \sqrt{x}, & x\ge 0.\end{cases}$$
При $$x<0$$ строим график $$y=-x^3$$, при $$x\ge 0$$ — график $$y=\sqrt{x}$$. В точке $$x=0$$ обе части дают $$0$$, поэтому график соединяется в начале координат.
$$D(f)=(-\infty;+\infty), \quad E(f)=[0;+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
б) $$f(x)=\begin{cases}x^3, & x\le 0,\\ \dfrac{4}{x}, & x>0.\end{cases}$$
На промежутке $$x\le 0$$ строим кубическую функцию $$y=x^3$$, а при $$x>0$$ — гиперболу $$y=\dfrac{4}{x}$$.
$$D(f)=(-\infty;+\infty), \quad E(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$
в) $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{6}{x+3}, & x<-3,\\ (x+3)^3-2, & x\ge -3.\end{cases}$$
При $$x<-3$$ строим ветвь гиперболы $$y=\dfrac{6}{x+3}$$, при $$x\ge -3$$ — график кубической функции $$y=(x+3)^3-2$$.
$$D(f)=(-\infty;+\infty), \quad E(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;-3)$$ и возрастает на $$[-3;+\infty).$$
г) $$f(x)=\begin{cases}x, & x<-1,\\ x^3, & x\ge -1.\end{cases}$$
Слева от $$-1$$ строим прямую $$y=x$$, справа — график $$y=x^3$$.
$$D(f)=(-\infty;+\infty), \quad E(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция возрастает на всей области определения.
д) $$f(x)=\begin{cases}-\dfrac{3}{x}, & x<0,\\ -x^3, & x\ge 0.\end{cases}$$
При $$x<0$$ строим ветвь гиперболы $$y=-\dfrac{3}{x}$$, при $$x\ge 0$$ — график $$y=-x^3$$.
$$D(f)=(-\infty;+\infty), \quad E(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$
е) $$f(x)=\begin{cases}-(x-2)^3+1, & x<2,\\ |x-4|-1, & x\ge 2.\end{cases}$$
При $$x<2$$ строим график $$y=-(x-2)^3+1$$, при $$x\ge 2$$ — график $$y=|x-4|-1$$.
$$D(f)=(-\infty;+\infty), \quad E(f)=[-1;+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;4]$$ и возрастает на $$[4;+\infty).$$

Для второй части задания строим пары графиков, используя преобразования исходных функций.

а) $$y=x^3-4,\quad y=|x|^3-4.$$
Второй график получается из $$y=|x|^3$$ сдвигом вниз на $$4$$ единицы.
б) $$y=\sqrt[3]{x}+2,\quad y=\sqrt[3]{|x|}+2.$$
Оба графика получаются сдвигом вверх на $$2$$ единицы.
в) $$y=\sqrt[3]{x+4}-1,\quad y=\sqrt[3]{|x+4|}-1.$$
Графики получаются сдвигом влево на $$4$$ единицы и вниз на $$1$$ единицу.
г) $$y=-x^3+4,\quad y=-|x|^3+4.$$
Второй график симметричен относительно оси $$Oy$$ и сдвинут вверх на $$4$$ единицы.
д) $$y=\sqrt[3]{x}-1,\quad y=\sqrt[3]{|x|}-1.$$
Оба графика получаются сдвигом вниз на $$1$$ единицу.
е) $$y=\sqrt[3]{x+2}-2,\quad y=\sqrt[3]{|x+2|}-2.$$
Графики получаются сдвигом влево на $$2$$ единицы и вниз на $$2$$ единицы.