Упр.25.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) f(x)={-x^3, если x<0; vx, если x?0}; б) f(x)={x^3, если x?0; 4/x, если x>0};
в) f(x)={6/(x+3), если x<-3; (x+3)^3-2, если x?-3}; г) f(x)={x, если x<-1; x^3, если x?-1}; д) f(x)={-3/x, если x<0; -x^3, если x?0}; е) f(x)={-(x-2)^3+1, если x<2; |x-4|-1, если x?2}. Постройте на двух чертежах графики каждой пары заданных функций: а) y=x^3-4 и y=|x|^3-4; б) y=x^(1/3)+2 и y=|x|^(1/3)+2; в) y=(x+4)^(1/3)-1 и y=|x+4|^(1/3)-1; г) y=-x^3+4 и y=-|x|^3+4; д) y=x^(1/3)-1 и y=|x|^(1/3)-1; е) y=(x+2)^(1/3)-2 и y=|x+2|^(1/3)-2.

Во всех пунктах нужно построить график кусочной функции, а затем по нему прочитать основные свойства: область определения, промежутки возрастания и убывания, значения функции, точки разрыва и т. д.

1. а) $$f(x)=\begin{cases}-x^3, & x<0,\\ \sqrt{x}, & x\ge 0.\end{cases}$$

   При $$x<0$$ строим график $$y=-x^3$$, при $$x\ge 0$$ — график $$y=\sqrt{x}$$. В точке $$x=0$$ обе части дают $$0$$, поэтому график соединяется в начале координат.

   $$D(f)=(-\infty;+\infty), \quad E(f)=[0;+\infty).$$

   Функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$

2. б) $$f(x)=\begin{cases}x^3, & x\le 0,\\ \dfrac{4}{x}, & x>0.\end{cases}$$

   На промежутке $$x\le 0$$ строим кубическую функцию $$y=x^3$$, а при $$x>0$$ — гиперболу $$y=\dfrac{4}{x}$$.

   $$D(f)=(-\infty;+\infty), \quad E(f)=(-\infty;+\infty).$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$

3. в) $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{6}{x+3}, & x<-3,\\ (x+3)^3-2, & x\ge -3.\end{cases}$$

   При $$x<-3$$ строим ветвь гиперболы $$y=\dfrac{6}{x+3}$$, при $$x\ge -3$$ — график кубической функции $$y=(x+3)^3-2$$.

   $$D(f)=(-\infty;+\infty), \quad E(f)=(-\infty;+\infty).$$

   Функция убывает на $$(-\infty;-3)$$ и возрастает на $$[-3;+\infty).$$

4. г) $$f(x)=\begin{cases}x, & x<-1,\\ x^3, & x\ge -1.\end{cases}$$

   Слева от $$-1$$ строим прямую $$y=x$$, справа — график $$y=x^3$$.

   $$D(f)=(-\infty;+\infty), \quad E(f)=(-\infty;+\infty).$$

   Функция возрастает на всей области определения.

5. д) $$f(x)=\begin{cases}-\dfrac{3}{x}, & x<0,\\ -x^3, & x\ge 0.\end{cases}$$

   При $$x<0$$ строим ветвь гиперболы $$y=-\dfrac{3}{x}$$, при $$x\ge 0$$ — график $$y=-x^3$$.

   $$D(f)=(-\infty;+\infty), \quad E(f)=(-\infty;+\infty).$$

   Функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$

6. е) $$f(x)=\begin{cases}-(x-2)^3+1, & x<2,\\ |x-4|-1, & x\ge 2.\end{cases}$$

   При $$x<2$$ строим график $$y=-(x-2)^3+1$$, при $$x\ge 2$$ — график $$y=|x-4|-1$$.

   $$D(f)=(-\infty;+\infty), \quad E(f)=[-1;+\infty).$$

   Функция убывает на $$(-\infty;4]$$ и возрастает на $$[4;+\infty).$$

Для второй части задания строим пары графиков, используя преобразования исходных функций.

1. а) $$y=x^3-4,\quad y=|x|^3-4.$$

   Второй график получается из $$y=|x|^3$$ сдвигом вниз на $$4$$ единицы.

2. б) $$y=\sqrt[3]{x}+2,\quad y=\sqrt[3]{|x|}+2.$$

   Оба графика получаются сдвигом вверх на $$2$$ единицы.

3. в) $$y=\sqrt[3]{x+4}-1,\quad y=\sqrt[3]{|x+4|}-1.$$

   Графики получаются сдвигом влево на $$4$$ единицы и вниз на $$1$$ единицу.

4. г) $$y=-x^3+4,\quad y=-|x|^3+4.$$

   Второй график симметричен относительно оси $$Oy$$ и сдвинут вверх на $$4$$ единицы.

5. д) $$y=\sqrt[3]{x}-1,\quad y=\sqrt[3]{|x|}-1.$$

   Оба графика получаются сдвигом вниз на $$1$$ единицу.

6. е) $$y=\sqrt[3]{x+2}-2,\quad y=\sqrt[3]{|x+2|}-2.$$

   Графики получаются сдвигом влево на $$2$$ единицы и вниз на $$2$$ единицы.

Ответ

Графики построены; их основные свойства указаны выше.