Упр.24.9 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) f(x)={2x+4, если -3?x<-1; 2x^2, если -1?x<1; -2x+4, если 1?x?3}; б) f(x)={-|x-3|+1, если -8?x<-2; -x^2, если -2?x?0; 2/x, если x>0};
в) f(x)={-4/(x+3)+1, если x<-1; -vx+1, если -1?x<4; x^2-8x+15, если 43}. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x), если:
а) f(x)=x^(1/3)-2, x?[-8; 1);
б) f(x)=(x+1)^(1/3)-3, x?[0; 7];
в) f(x)=(x-4)^(1/3)+5, x?[3; 4];
г) f(x)=x^(1/3)+3, x?(-1; 8];
д) f(x)=(x-2)^(1/3)+1, x?[2; 3];
е) f(x)=(x+3)^(1/3)-4, x?[-4; 5].

1. а) $$f(x)=\begin{cases}2x+4,& -3\le x<-1,\\ 2x^2,& -1\le x<1,\\ -2x+4,& 1\le x\le 3.\end{cases}$$

   На первом промежутке получаем отрезок от $$(-3,-2)$$ до $$(-1,2)$$, на втором — ветвь параболы $$y=2x^2$$ при $$-1\le x<1$$, на третьем — отрезок от $$\left(1,2\right)$$ до $$\left(3,-2\right)$$.

   $$D(f)=[-3;3], \quad E(f)=[-2;2].$$

2. б) $$f(x)=\begin{cases}-|x-3|+1,& -8\le x<-2,\\ -x^2,& -2\le x\le 0,\\ \dfrac{2}{x},& x>0.\end{cases}$$

   На первом промежутке график — ломаная, на втором — часть параболы $$y=-x^2$$, на третьем — ветвь гиперболы $$y=\dfrac{2}{x}$$.

   $$D(f)=[-8;+\infty), \quad E(f)=[-10;+\infty).$$

3. в) $$f(x)=\begin{cases}-\dfrac{4}{x+3}+1,& x<-1,\\ -\sqrt{x}+1,& -1\le x<4,\\ x^2-8x+15,& 4<x\le 6.\end{cases}$$

   Область определения состоит из трёх промежутков:

   $$D(f)=(-\infty;-3)\cup(-3;-1)\cup[-1;4)\cup(4;6].$$

   Функция не ограничена ни сверху, ни снизу, поэтому

   $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$

4. г) $$f(x)=\begin{cases}-x-10,& x<-2,\\ x^3,& -2\le x<2,\\ 10-x,& x\ge 2.\end{cases}$$

   $$D(f)=(-\infty;+\infty), \quad E(f)=[-8;8].$$

5. д) $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{4}{x},& x<0,\\ -x^2+2x+3,& 0\le x<2,\\ x+1,& 2\le x\le 4.\end{cases}$$

   $$D(f)=(-\infty;4], \quad E(f)=(-\infty;5].$$

6. е) $$f(x)=\begin{cases}x^2+6x+8,& -5\le x<-2,\\ \sqrt{x+2},& -2<x\le 2,\\ -\dfrac{3}{x-3}-1,& x>3.\end{cases}$$

   $$D(f)=[-5;2]\cup(3;+\infty), \quad E(f)=(-\infty;3].$$

Ответ

1. а) $$D(f)=[-3;3], \ E(f)=[-2;2].$$
2. б) $$D(f)=[-8;+\infty), \ E(f)=[-10;+\infty).$$
3. в) $$D(f)=(-\infty;-3)\cup(-3;-1)\cup[-1;4)\cup(4;6], \ E(f)=(-\infty;+\infty).$$
4. г) $$D(f)=(-\infty;+\infty), \ E(f)=[-8;8].$$
5. д) $$D(f)=(-\infty;4], \ E(f)=(-\infty;5].$$
6. е) $$D(f)=[-5;2]\cup(3;+\infty), \ E(f)=(-\infty;3].$$

Ход решения

1. а) $$f(x)=\sqrt[3]{x}-2,\quad x\in[-8;1).$$

   Функция $$\sqrt[3]{x}$$ возрастает, значит наименьшее значение достигается при $$x=-8$$, а наибольшее — при наибольшем допустимом значении, то есть при $$x\to 1-$$.

   $$f(-8)=\sqrt[3]{-8}-2=-2-2=-4.$$

   При $$x\to 1-$$ получаем $$f(x)\to -1,$$ но $$x=1$$ не входит в область определения, значит наибольшего значения нет.

2. б) $$f(x)=\sqrt[3]{x+1}-3,\quad x\in[0;7].$$

   Так как функция возрастает, то

   $$f(0)=\sqrt[3]{1}-3=1-3=-2,$$

   $$f(7)=\sqrt[3]{8}-3=2-3=-1.$$

3. в) $$f(x)=\sqrt[3]{x-4}+5,\quad x\in[3;4].$$

   Функция возрастает, поэтому

   $$f(3)=\sqrt[3]{-1}+5=-1+5=4,$$

   $$f(4)=\sqrt[3]{0}+5=5.$$

4. г) $$f(x)=\sqrt[3]{x}+3,\quad x\in(-1;8].$$

   Функция возрастает, значит наибольшее значение достигается при $$x=8$$:

   $$f(8)=\sqrt[3]{8}+3=2+3=5.$$

   Наименьшего значения нет, так как $$x=-1$$ не входит в область определения.

5. д) $$f(x)=\sqrt[3]{x-2}+1,\quad x\in[2;3].$$

   $$f(2)=\sqrt[3]{0}+1=1,$$

   $$f(3)=\sqrt[3]{1}+1=2.$$

6. е) $$f(x)=\sqrt[3]{x+3}-4,\quad x\in[-4;5].$$

   $$f(-4)=\sqrt[3]{-1}-4=-1-4=-5,$$

   $$f(5)=\sqrt[3]{8}-4=2-4=-2.$$

Ответ

1. а) $$-4$$; наибольшего значения нет.
2. б) $$-2;\ -1.$$
3. в) $$4;\ 5.$$
4. г) наименьшего значения нет; $$5.$$
5. д) $$1;\ 2.$$
6. е) $$-5;\ -2.$$