Упр.24.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
Постройте и прочитайте график данной функции:
а) $$f(x)=\begin{cases}\frac{4}{x},&x<0;\\ \sqrt{x},&x\geq 0;\end{cases}$$
б) $$f(x)=\begin{cases}x^2+4x,&x<0;\\ \sqrt{x},&x\geq 0;\end{cases}$$
в) $$f(x)=\begin{cases}\frac{3}{x+2},&x<-2;\\ |x+1|,&x\geq -2;\end{cases}$$
г) $$f(x)=\begin{cases}6-x^2,&x\leq 0;\\ \frac{6}{x},&x>0;\end{cases}$$
д) $$f(x)=\begin{cases}-\frac{6}{x},&x<0;\\ \sqrt{x+1},&x\geq 0;\end{cases}$$
е) $$f(x)=\begin{cases}-|x+4|,&-8\leq x\leq 0;\\ \sqrt{x-1},&x\geq 1.\end{cases}$$
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=f(x)$$, где $$f(x)=x^{1/3}$$, на заданном промежутке:
а) $$x\in[-27;100);$$
б) $$x\in[-0{,}125;0{,}216];$$
в) $$x\in\left(-\infty;\frac{64}{125}\right];$$
г) $$x\in(-116;64];$$
д) $$x\in[-0{,}512;0{,}729];$$
е) $$x\in\left[\frac{125}{216};+\infty\right).$$
а) $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{4}{x}, & x<0,\\ \sqrt{x}, & x\ge 0.\end{cases}$$
При $$x<0$$ график функции $$y=\dfrac{4}{x}$$, при $$x\ge 0$$ — график $$y=\sqrt{x}$$.
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная; убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
Множество значений: $$E(f)=(-\infty;0)\cup[0;+\infty)=(-\infty;+\infty).$$
б) $$f(x)=\begin{cases}x^2+4x, & x<0,\\ \sqrt{x}, & x\ge 0.\end{cases}$$
При $$x<0$$ это парабола $$y=x^2+4x=(x+2)^2-4$$, при $$x\ge 0$$ — $$y=\sqrt{x}$$.
На $$(-\infty;0)$$ функция убывает на $$(-\infty;-2]$$ и возрастает на $$[-2;0)$$, а на $$[0;+\infty)$$ возрастает.
Наименьшее значение: $$y_{\min}=-4$$ при $$x=-2$$. Наибольшего значения нет.
Множество значений: $$E(f)=[-4;+\infty).$$
в) $$f(x)=\begin{cases}\dfrac{3}{x+2}, & x<-2,\\ |x+1|, & x\ge -2.\end{cases}$$
При $$x<-2$$ график $$y=\dfrac{3}{x+2}$$, при $$x\ge -2$$ — график $$y=|x+1|$$.
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
На $$(-\infty;-2)$$ функция убывает, на $$[-2;+\infty)$$ убывает на $$[-2;-1]$$ и возрастает на $$[-1;+\infty).$$
Наименьшее значение: $$y_{\min}=0$$ при $$x=-1$$. Наибольшего значения нет.
Множество значений: $$E(f)=(-\infty;0)\cup[0;+\infty)=(-\infty;+\infty).$$
г) $$f(x)=\begin{cases}6-x^2, & x\le 0,\\ \dfrac{6}{x}, & x>0.\end{cases}$$
При $$x\le 0$$ это парабола $$y=6-x^2$$, при $$x>0$$ — гипербола $$y=\dfrac{6}{x}$$.
На $$(-\infty;0]$$ функция возрастает, на $$(0;+\infty)$$ убывает.
Наибольшее значение: $$y_{\max}=6$$ при $$x=0$$. Наименьшего значения нет.
Множество значений: $$E(f)=(-\infty;6].$$
д) $$f(x)=\begin{cases}-\dfrac{6}{x}, & x<0,\\ \sqrt{x+1}, & x\ge 0.\end{cases}$$
При $$x<0$$ график $$y=-\dfrac{6}{x}$$, при $$x\ge 0$$ — график $$y=\sqrt{x+1}$$.
Функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и на $$[0;+\infty).$$
Наименьшего значения нет, наибольшее значение тоже отсутствует.
Множество значений: $$E(f)=(0;+\infty).$$
е) $$f(x)=\begin{cases}-|x+4|, & -8\le x\le 0,\\ \sqrt{x-1}, & x\ge 1.\end{cases}$$
На отрезке $$[-8;0]$$ график — ломаная, задаваемая функцией $$y=-|x+4|$$, а при $$x\ge 1$$ — график $$y=\sqrt{x-1}$$.
На $$[-8;0]$$ функция убывает на $$[-8;-4]$$ и возрастает на $$[-4;0]$$, на $$[1;+\infty)$$ возрастает.
Наибольшее значение: $$y_{\max}=0$$ при $$x=-4$$. Наименьшее значение: $$y_{\min}=-4$$ при $$x=-8$$.
Множество значений: $$E(f)=[-4;0]\cup[0;+\infty)=[-4;+\infty).$$
Ответ
- а) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=(-\infty;+\infty).$$
- б) $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}$$ нет; $$E(f)=[-4;+\infty).$$
- в) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}$$ нет; $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
- г) $$y_{\max}=6,\ y_{\min}$$ нет; $$E(f)=(-\infty;6].$$
- д) $$y_{\min}$$ нет, $$y_{\max}$$ нет; $$E(f)=(0;+\infty).$$
- е) $$y_{\min}=-4,\ y_{\max}=0;\ E(f)=[-4;+\infty).$$
