Упр.24.6 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) Рис. 160; в) рис. 162; д) рис. 164;
б) рис. 161; г) рис. 163; е) рис. 165. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что функция возрастает:
а) y=x^(1/3)/3; г) y=2 x^(1/3);
б) y=x^(1/3)-4; д) y=x^(1/3)+6;
в) y=(x-9)^(1/3)+11; е) y=(x+13)^(1/3)-18.
а) Рис. 160.
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[-3;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная. Возрастает на $$[-2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-2].$$
Ограничена снизу, не ограничена сверху. Наименьшее значение: $$y_{\min}=-3.$$ Наибольшего значения нет.
Функция непрерывна.
б) Рис. 161.
$$D(x)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная. Убывает на $$(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$
Не ограничена сверху и снизу. Наибольшего и наименьшего значений нет.
Функция непрерывна на $$(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$
Выпукла вверх на $$(-\infty;-1)$$ и вниз на $$(-1;+\infty).$$
в) Рис. 162.
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=[-4;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная. Возрастает на $$[2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;2].$$
Не ограничена сверху, ограничена снизу. Наименьшее значение: $$y_{\min}=-4.$$ Наибольшего значения нет.
Функция непрерывна. Выпукла вниз.
г) Рис. 163.
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;4].$$
Функция ни чётная, ни нечётная. Возрастает на $$(-\infty;1],$$ убывает на $$[1;+\infty).$$
Ограничена сверху, не ограничена снизу. Наибольшего значения достигает при $$y_{\max}=4.$$ Наименьшего значения нет.
Функция непрерывна.
д) Рис. 164.
$$D(x)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная. Возрастает на $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$
Не ограничена сверху и снизу. Наибольшего и наименьшего значений нет.
Функция непрерывна на $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$ Выпукла вверх на $$ (2;+\infty) $$ и вниз на $$(-\infty;2).$$
е) Рис. 165.
$$D(x)=(-\infty;+\infty), \quad E(y)=(-\infty;3].$$
Функция ни чётная, ни нечётная. Возрастает на $$(-\infty;-1],$$ убывает на $$[-1;+\infty).$$
Ограничена сверху, не ограничена снизу. Наибольшего значения достигает: $$y_{\max}=3.$$ Наименьшего значения нет.
Функция непрерывна. Выпукла вверх.
Докажем, что функция возрастает.
Для всех случаев достаточно использовать свойство: если $$x_2>x_1,$$ то $$\sqrt[3]{x_2}>\sqrt[3]{x_1}.$$
а) $$y=\dfrac{\sqrt[3]{x}}{3}.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то
$$\sqrt[3]{x_2}>\sqrt[3]{x_1}, \quad \frac{\sqrt[3]{x_2}}{3}>\frac{\sqrt[3]{x_1}}{3}.$$
Значит, функция возрастает.
б) $$y=\sqrt[3]{x}-4.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то
$$\sqrt[3]{x_2}>\sqrt[3]{x_1}, \quad \sqrt[3]{x_2}-4>\sqrt[3]{x_1}-4.$$
Значит, функция возрастает.
в) $$y=\sqrt[3]{x-9}+11.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то
$$x_2-9>x_1-9, \quad \sqrt[3]{x_2-9}>\sqrt[3]{x_1-9},$$
$$\sqrt[3]{x_2-9}+11>\sqrt[3]{x_1-9}+11.$$
Значит, функция возрастает.
г) $$y=2\sqrt[3]{x}.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то
$$\sqrt[3]{x_2}>\sqrt[3]{x_1}, \quad 2\sqrt[3]{x_2}>2\sqrt[3]{x_1}.$$
Значит, функция возрастает.
д) $$y=\sqrt[3]{x}+6.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то
$$\sqrt[3]{x_2}>\sqrt[3]{x_1}, \quad \sqrt[3]{x_2}+6>\sqrt[3]{x_1}+6.$$
Значит, функция возрастает.
е) $$y=\sqrt[3]{x+13}-18.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то
$$x_2+13>x_1+13, \quad \sqrt[3]{x_2+13}>\sqrt[3]{x_1+13},$$
$$\sqrt[3]{x_2+13}-18>\sqrt[3]{x_1+13}-18.$$
Значит, функция возрастает.
Ответ
а) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[-3;+\infty),$$ функция возрастает на $$[-2;+\infty).$$
б) $$D(x)=(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty),\ E(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty),$$ функция убывает на $$(-\infty;-1)\cup(-1;+\infty).$$
в) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[-4;+\infty),$$ функция возрастает на $$[2;+\infty).$$
г) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;4],$$ функция возрастает на $$(-\infty;1].$$
д) $$D(x)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty),\ E(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty),$$ функция возрастает на $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$
е) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;3],$$ функция возрастает на $$(-\infty;-1].$$
