Упр.24.19 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) {6x-y=-1, 5/x+3/y=16};
б) {3x^2+2y^2-3x+4y=16, 4x^2-2y^2+5x-4y=-7};
в) {4x+2y=-1, 7/x+9/y=4};
г) {5x^2+3y^2-4x+3y=48, 5x^2-y^2-4x-6y=-15}.
а) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$6x-y=-1$$
$$y=6x+1.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\frac{5}{x}+\frac{3}{6x+1}=16.$$
Умножим на $$x(6x+1)$$:
$$5(6x+1)+3x=16x(6x+1),$$
$$30x+5+3x=96x^2+16x,$$
$$96x^2-17x-5=0.$$
$$D=(-17)^2-4\cdot 96\cdot(-5)=2209,$$
$$x_{1,2}=\frac{17\pm 47}{192}.$$
Тогда
$$x_1=-\frac{5}{32},\quad x_2=\frac{1}{3}.$$
Найдём $$y$$:
$$y_1=6\left(-\frac{5}{32}\right)+1=\frac{1}{16},\quad y_2=6\cdot \frac{1}{3}+1=3.$$
б) Сложим уравнения системы:
$$\begin{aligned} &3x^2+2y^2-3x+4y=16,\\ &4x^2-2y^2+5x-4y=-7. \end{aligned}$$
Получаем:
$$7x^2+2x=9,$$
$$7x^2+2x-9=0.$$
$$D=2^2-4\cdot 7\cdot(-9)=256,$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 16}{14}.$$
Значит,
$$x_1=-\frac{9}{7},\quad x_2=1.$$
Подставим в первое уравнение.
При $$x=-\frac{9}{7}$$:
$$\frac{243}{49}+2y^2+\frac{27}{7}+4y=16,$$
$$49y^2+98y-176=0,$$
$$D=98^2-4\cdot 49\cdot(-176)=44100,$$
$$y_{1,2}=\frac{-98\pm 210}{98}.$$
Отсюда
$$y_1=-\frac{17}{7},\quad y_2=\frac{8}{7}.$$
При $$x=1$$:
$$3+2y^2-3+4y=16,$$
$$y^2+2y-8=0,$$
$$D=36,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}.$$
Отсюда
$$y_1=-4,\quad y_2=2.$$
в) Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$4x+2y=-1,$$
$$y=-2x-\frac{1}{2}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\frac{7}{x}+\frac{9}{y}=4,$$
$$\frac{7}{x}+\frac{9}{-2x-\frac12}=4.$$
После преобразований получаем:
$$16x^2-6x-7=0.$$
$$D=(-6)^2-4\cdot 16\cdot(-7)=484,$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm 22}{32}.$$
Значит,
$$x_1=-\frac12,\quad x_2=\frac78.$$
Тогда
$$y_1=-2\left(-\frac12\right)-\frac12=\frac12,$$
$$y_2=-2\cdot \frac78-\frac12=-\frac94.$$
г) Вычтем второе уравнение из первого:
$$\begin{aligned} &(5x^2+3y^2-4x+3y)-(5x^2-y^2-4x-6y)=48-(-15),\\ &4y^2+9y=63. \end{aligned}$$
$$4y^2+9y-63=0.$$
$$D=9^2-4\cdot 4\cdot(-63)=1089,$$
$$y_{1,2}=\frac{-9\pm 33}{8}.$$
Отсюда
$$y_1=-\frac{21}{4},\quad y_2=3.$$
При $$y=-\frac{21}{4}$$:
$$5x^2+3\cdot \frac{441}{16}-4x-\frac{63}{4}=48,$$
$$80x^2-64x+303=0.$$
$$D=(-64)^2-4\cdot 80\cdot 303<0,$$
значит, действительных решений нет.
При $$y=3$$:
$$5x^2+27-4x-18=48,$$
$$5x^2-4x-39=0.$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot(-39)=796,$$
$$x=\frac{4\pm \sqrt{796}}{10}=\frac{2\pm \sqrt{199}}{5}.$$
Ответ
а) $$\left(-\frac{5}{32};\frac{1}{16}\right),\ \left(\frac13;3\right);$$ б) $$\left(-\frac97;-\frac{17}{7}\right),\ \left(-\frac97;\frac87\right),\ (1;-4),\ (1;2);$$ в) $$\left(-\frac12;\frac12\right),\ \left(\frac78;-\frac94\right);$$ г) $$\left(\frac{2-\sqrt{199}}{5};3\right),\ \left(\frac{2+\sqrt{199}}{5};3\right).$$
