Упр.24.17 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}2(x+4)^2, & \text{если } -6\leqslant x<-2;\\-x^3, & \text{если } -2\leqslant x<0;\\x^{1/3}, & \text{если } 0\leqslant x<8.\end{cases}$$ При каком значении параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$: а) имеет два корня; б) имеет три корня; в) имеет хотя бы один корень; г) имеет единственный корень; д) не имеет корней; е) имеет четыре корня?

Рассмотрим функцию по частям:

$$f(x)= \begin{cases} 2(x+4)^2, & -6\le x<-2,\\ -x^3, & -2\le x<0,\\ \sqrt[3]{x}, & 0\le x<8. \end{cases}$$

Найдём, какие значения принимает каждая часть функции.

• При $$-6\le x<-2$$ имеем $$y=2(x+4)^2$$. Минимум достигается при $$x=-4$$ и равен $$0$$, а на концах отрезка значения равны $$8$$. Значит, здесь $$y\in[0;8]$$.
• При $$-2\le x<0$$ имеем $$y=-x^3$$. На этом промежутке значения меняются от $$8$$ до $$0$$, то есть снова $$y\in(0;8]$$.
• При $$0\le x<8$$ имеем $$y=\sqrt[3]{x}$$. Тогда $$y\in[0;2)$$.

Итак, вся функция принимает значения из промежутка $$[0;8]$$.

Теперь определим число корней уравнения $$f(x)=p$$ по положению прямой $$y=p$$ относительно графика.

1. Если $$p\in(0;2)$$, то прямая пересекает график в четырёх точках.
2. Если $$p=0$$ или $$p\in[2;8]$$, то прямая пересекает график в трёх точках.
3. Если $$p\in(0;8)$$, то уравнение имеет хотя бы один корень.
4. Единственного корня нет ни при каком $$p$$.
5. Если $$p<0$$ или $$p>8$$, то корней нет.

Ответ

а) $$p\in[0;8]$$;
б) $$p\in[2;8]$$;
в) $$p\in[0;8]$$;
г) $$p\notin\varnothing$$, то есть таких значений $$p$$ нет;
д) $$p<0$$ или $$p>8$$;
е) $$p\in(0;2)$$.