Упр.24.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Решите графически неравенство:

а) $$\left(x+1\right)^{1/3}\mathrel{?}1$$;

г) $$\left(x-3\right)^{1/3}\mathrel{?}-1$$;

б) $$-x^{1/3}\mathrel{?}2x+3$$;

д) $$x^{1/3}\mathrel{?}-\frac{1}{2}x+6$$;

в) $$\left(x-1\right)^{1/3}+2\mathrel{?}\lvert x-4\rvert-1$$;

е) $$-\left(x+2\right)^{1/3}-1>\lvert x+5\rvert-4$$.

1. а) $$\sqrt[3]{x+1}\ge 1$$

   Функция $$y=\sqrt[3]{x+1}$$ возрастает, поэтому можно возвести обе части в куб:

   $$x+1\ge 1$$

   $$x\ge 0$$

2. б) $$-\sqrt[3]{x}\ge 2x+3$$

   Перенесём всё в одну сторону и рассмотрим графики функций $$y=-\sqrt[3]{x}$$ и $$y=2x+3$$. Точка их пересечения соответствует решению уравнения:

   $$-\sqrt[3]{x}=2x+3$$

   Проверка даёт $$x=-1$$. С учётом расположения графиков получаем:

   $$x\le -1$$

3. в) $$\sqrt[3]{x-1}+2\le |x-4|-1$$

   Сравниваем графики функций $$y=\sqrt[3]{x-1}+2$$ и $$y=|x-4|-1$$. Точки пересечения соответствуют значениям $$x=1$$ и $$x=9$$.

   Неравенство выполняется вне промежутка между ними:

   $$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 9$$

4. г) $$\sqrt[3]{x-3}\le -1$$

   Так как функция $$y=\sqrt[3]{x-3}$$ возрастает, возводим обе части в куб:

   $$x-3\le -1$$

   $$x\le 2$$

5. д) $$\sqrt[3]{x}\le -\frac12x+6$$

   По графику функций $$y=\sqrt[3]{x}$$ и $$y=-\frac12x+6$$ точка пересечения имеет абсциссу $$x=8$$. Неравенство выполняется левее этой точки:

   $$x\le 8$$

6. е) $$-\sqrt[3]{x+2}-1>|x+5|-4$$

   Сравниваем графики функций $$y=-\sqrt[3]{x+2}-1$$ и $$y=|x+5|-4$$. Точки пересечения имеют абсциссы $$x=-10$$ и $$x=-2$$.

   Неравенство строгое, значит концы не входят:

   $$-10<x<-2$$

Ответ

а) $$[0; +\infty)$$; б) $$(-\infty; -1]$$; в) $$(-\infty; 1]\cup[9; +\infty)$$; г) $$(-\infty; 2]$$; д) $$(-\infty; 8]$$; е) $$(-10; -2)$$.