Упр.24.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

б) Дана функция y=f(x), где f(x)=(3x^2-27)/(x^3-9x). Найдите все значения параметра р, при которых уравнение f(x)=p^2-2p не имеет корней. Постройте график функции:
а) f(x)={-x^3, если x<0; x^(1/3), если x?0}; б) f(x)={x^(1/3), если x?0; -3/x, если x>0};
в) f(x)={1/(x+3), если x<-4; (x+3)^(1/3), если x?-4}; г) f(x)={x, если x<1; x^(1/3), если x?-1}; д) f(x)={4/x, если x<0; -x^(1/3), если x?0}; е) f(x)={1/(x-2)+1, если x<1; -(x-2)^(1/3)+1, если x?1}.

Подробный ответ

а)
$$f(x)=\frac{2x^2-8}{x^3-4x}=\frac{2(x^2-4)}{x(x^2-4)}=\frac{2}{x},$$
при этом $$x\ne -2,\; x\ne 0,\; x\ne 2.$$
Тогда уравнение $$f(x)=p^2+p$$ равносильно
$$\frac{2}{x}=p^2+p.$$
Оно не имеет корней, если число $$p^2+p$$ не принадлежит множеству значений функции $$\frac{2}{x}$$ при $$x\ne -2,0,2$$.
Так как $$\frac{2}{x}\ne 0,$$ а значения $$1$$ и $$-1$$ достигаются только при $$x=2$$ и $$x=-2,$$ то они исключаются из-за ОДЗ. Значит, нужно рассмотреть случаи:
$$p^2+p=0,\quad p^2+p=1,\quad p^2+p=-1.$$
1) $$p^2+p=0 \Rightarrow p(p+1)=0 \Rightarrow p=-1,\;0.$$
2) $$p^2+p=1 \Rightarrow p^2+p-1=0 \Rightarrow p=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}.$$
3) $$p^2+p=-1 \Rightarrow p^2+p+1=0,$$
дискриминант $$D=1-4=-3<0,$$ действительных корней нет.
Следовательно, подходят значения
$$p=-1,\;0,\;\frac{-1-\sqrt5}{2},\;\frac{-1+\sqrt5}{2}.$$
б)
$$f(x)=\frac{3x^2-27}{x^3-9x}=\frac{3(x^2-9)}{x(x^2-9)}=\frac{3}{x},$$
при этом $$x\ne -3,\; x\ne 0,\; x\ne 3.$$
Уравнение $$f(x)=p^2-2p$$ равносильно
$$\frac{3}{x}=p^2-2p.$$
Оно не имеет корней, если число $$p^2-2p$$ не совпадает со значениями $$\frac{3}{x}$$ при $$x\ne -3,0,3.$$
Значения $$1$$ и $$-1$$ исключаются, так как соответствуют $$x=3$$ и $$x=-3,$$ а значение $$0$$ функция не принимает. Поэтому рассматриваем:
$$p^2-2p=0,\quad p^2-2p=1,\quad p^2-2p=-1.$$
1) $$p^2-2p=0 \Rightarrow p(p-2)=0 \Rightarrow p=0,\;2.$$
2) $$p^2-2p=1 \Rightarrow p^2-2p-1=0 \Rightarrow p=1\pm\sqrt2.$$
3) $$p^2-2p=-1 \Rightarrow p^2-2p+1=0 \Rightarrow (p-1)^2=0 \Rightarrow p=1.$$
Следовательно, подходят значения
$$p=0,\;1,\;2,\;1-\sqrt2,\;1+\sqrt2.$$
Построение графиков
а) $$f(x)= \begin{cases} -x^3, & x<0,\\ \sqrt[3]{x}, & x\ge 0. \end{cases}$$
Левая ветвь — график $$y=-x^3$$ при $$x<0,$$ правая — график $$y=\sqrt[3]{x}$$ при $$x\ge 0.$$ Обе части соединяются в точке $$\left(0,0\right).$$
б) $$f(x)= \begin{cases} \sqrt[3]{x}, & x\le 0,\\ -\dfrac{3}{x}, & x>0. \end{cases}$$
При $$x\le 0$$ строится график $$y=\sqrt[3]{x},$$ при $$x>0$$ — правая ветвь гиперболы $$y=-\dfrac{3}{x}.$$
в) $$f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x+3}, & x<-4,\\ \sqrt[3]{x+3}, & x\ge -4. \end{cases}$$
Слева — ветвь гиперболы $$y=\dfrac{1}{x+3},$$ справа — график $$y=\sqrt[3]{x+3}.$$ В точке $$x=-4$$ получаем
$$f(-4)=\sqrt[3]{-1}=-1,$$
значит, точка соединения — $$(-4,-1).$$
г) $$f(x)= \begin{cases} x, & x<-1,\\ \sqrt[3]{x}, & x\ge -1. \end{cases}$$
Слева — прямая $$y=x,$$ справа — график $$y=\sqrt[3]{x}.$$ Они соединяются в точке $$(-1,-1).$$
д) $$f(x)= \begin{cases} \dfrac{4}{x}, & x<0,\\ -\sqrt[3]{x}, & x\ge 0. \end{cases}$$
Слева строится ветвь гиперболы $$y=\dfrac{4}{x},$$ справа — график $$y=-\sqrt[3]{x}.$$ Обе части проходят через начало координат не соединяясь, так как при $$x=0$$ первая формула не определена.
е) $$f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x-2}+1, & x<1,\\ -\sqrt[3]{x-2}+1, & x\ge 1. \end{cases}$$
Слева — график $$y=\dfrac{1}{x-2}+1,$$ справа — график $$y=-\sqrt[3]{x-2}+1.$$ В точке $$x=1$$:
$$f(1)=-\sqrt[3]{-1}+1=2,$$
значит, правая часть начинается в точке $$\left(1,2\right).$$