Упр.23.22 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) [x^2-5x+6<0, x-2?0]; в) [x+3?0, -x^2-x+12>0];
б) [13x+15-2x^2?0, 5x-x^2<0]; г) [2x^2+7x-4?0, 25-4x^2<0].
Дана функция y=f(x), где f(x)={-x^2-6x-5, если -5?x<0; 2x-5, если 0?x<3; 3/x, если x?3}.
а) Постройте график функции y=f(x);
б) прочитайте график;
в) найдите значения параметра p, при которых уравнение f(x)=p имеет ровно три корня.
а) Решим систему неравенств:
$$ \begin{cases} x^2-5x+6<0,\\ x-2\ge 0. \end{cases} $$
$$ x^2-5x+6=(x-2)(x-3), $$
поэтому
$$ (x-2)(x-3)<0 \;\Rightarrow\; 2<x<3. $$
Из второго неравенства:
$$ x\ge 2. $$
Пересечение решений:
$$ [2;3). $$
б)
$$ \begin{cases} 13x+15-2x^2\le 0,\\ 5x-x^2<0. \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ 2x^2-13x-15\ge 0. $$
Найдём корни:
$$ D=13^2+4\cdot 2\cdot 15=289,\qquad \sqrt D=17. $$
$$ x_{1,2}=\frac{13\pm 17}{4},\quad x_1=-1,\; x_2=\frac{15}{2}. $$
Тогда
$$ 2x^2-13x-15\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -1 \;\text{или}\; x\ge \frac{15}{2}. $$
Второе неравенство:
$$ 5x-x^2<0 \;\Rightarrow\; x^2-5x>0 \;\Rightarrow\; x(x-5)>0, $$
откуда
$$ x<0 \;\text{или}\; x>5. $$
Пересечение:
$$ (-\infty;0)\cup\left(\frac{15}{2};+\infty\right). $$
в)
$$ \begin{cases} x+3\ge 0,\\ -x^2-x+12>0. \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ x\ge -3. $$
Второе:
$$ x^2+x-12<0, $$
$$ x^2+x-12=(x+4)(x-3), $$
значит
$$ -4<x<3. $$
Пересечение:
$$ [-3;3). $$
г)
$$ \begin{cases} 2x^2+7x-4\le 0,\\ 25-4x^2<0. \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ D=7^2+4\cdot 2\cdot 4=81,\qquad \sqrt D=9. $$
$$ x_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{4},\quad x_1=-4,\; x_2=\frac12. $$
Тогда
$$ -4\le x\le \frac12. $$
Второе неравенство:
$$ 25-4x^2<0 \;\Rightarrow\; 4x^2-25>0 \;\Rightarrow\; (2x-5)(2x+5)>0, $$
откуда
$$ x<-\frac52 \;\text{или}\; x>\frac52. $$
Пересечение:
$$ (-4;-\frac52)\cup\left(\frac52;+\infty\right) $$
не подходит, так как должно одновременно выполняться $$x\le \frac12$$. Значит, решений нет.
Дана функция
$$ f(x)= \begin{cases} -x^2-6x-5, & -5\le x<0,\\ 2x-5, & 0\le x<3,\\ \frac{3}{x}, & x\ge 3. \end{cases} $$
а) График состоит из трёх частей:
- парабола $$y=-x^2-6x-5$$ на отрезке $$[-5;0)$$;
- отрезок прямой $$y=2x-5$$ на промежутке $$[0;3)$$;
- ветвь гиперболы $$y=\frac{3}{x}$$ при $$x\ge 3$$.
Опорные точки: $$(-5,0),\;(-3,4),\;(0,-5),\;(3,1).$$
б) Свойства функции:
- $$D(f)=[-5;+\infty);$$
- функция не является ни чётной, ни нечётной;
- возрастает на $$[-5;-3]$$ и $$[0;3];$$
- убывает на $$[-3;0]$$ и $$[3;+\infty);$$
- ограничена снизу и сверху;
- $$y_{\min}=-5,\quad y_{\max}=4;$$
- $$E(f)=[-5;4];$$
- функция непрерывна на своей области определения.
в) Уравнение $$f(x)=p$$ имеет ровно три корня при тех значениях $$p$$, при которых горизонтальная прямая пересекает график в трёх точках. Это происходит при
$$ p=0 \quad \text{и} \quad p=1. $$
Ответ
а) $$[2;3)$$;
б) $$(-\infty;0)\cup\left(\frac{15}{2};+\infty\right)$$;
в) $$[-3;3)$$;
г) решений нет;
для функции: $$D(f)=[-5;+\infty),\; E(f)=[-5;4],\; p=0,\;1.$$
