Упр.23.22 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) Решим систему неравенств:

$$\begin{cases} x^2-5x+6<0,\\ x-2\ge 0. \end{cases}$$

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$
поэтому
$$(x-2)(x-3)<0 \;\Rightarrow\; 2<x<3.$$
Из второго неравенства:
$$x\ge 2.$$
Пересечение решений:
$$[2;3).$$

б)

$$\begin{cases} 13x+15-2x^2\le 0,\\ 5x-x^2<0. \end{cases}$$

Первое неравенство:
$$2x^2-13x-15\ge 0.$$
Найдём корни:
$$D=13^2+4\cdot 2\cdot 15=289,\qquad \sqrt D=17.$$
$$x_{1,2}=\frac{13\pm 17}{4},\quad x_1=-1,\; x_2=\frac{15}{2}.$$
Тогда
$$2x^2-13x-15\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le -1 \;\text{или}\; x\ge \frac{15}{2}.$$

Второе неравенство:
$$5x-x^2<0 \;\Rightarrow\; x^2-5x>0 \;\Rightarrow\; x(x-5)>0,$$
откуда
$$x<0 \;\text{или}\; x>5.$$
Пересечение:
$$(-\infty;0)\cup\left(\frac{15}{2};+\infty\right).$$

в)

$$\begin{cases} x+3\ge 0,\\ -x^2-x+12>0. \end{cases}$$

Первое неравенство:
$$x\ge -3.$$
Второе:
$$x^2+x-12<0,$$
$$x^2+x-12=(x+4)(x-3),$$
значит
$$-4<x<3.$$
Пересечение:
$$[-3;3).$$

г)

$$\begin{cases} 2x^2+7x-4\le 0,\\ 25-4x^2<0. \end{cases}$$

Первое неравенство:
$$D=7^2+4\cdot 2\cdot 4=81,\qquad \sqrt D=9.$$
$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{4},\quad x_1=-4,\; x_2=\frac12.$$
Тогда
$$-4\le x\le \frac12.$$

Второе неравенство:
$$25-4x^2<0 \;\Rightarrow\; 4x^2-25>0 \;\Rightarrow\; (2x-5)(2x+5)>0,$$
откуда
$$x<-\frac52 \;\text{или}\; x>\frac52.$$
Пересечение:
$$(-4;-\frac52)\cup\left(\frac52;+\infty\right)$$
не подходит, так как должно одновременно выполняться $$x\le \frac12$$. Значит, решений нет.

Дана функция

$$f(x)= \begin{cases} -x^2-6x-5, & -5\le x<0,\\ 2x-5, & 0\le x<3,\\ \frac{3}{x}, & x\ge 3. \end{cases}$$

а) График состоит из трёх частей:

• парабола $$y=-x^2-6x-5$$ на отрезке $$[-5;0)$$;
• отрезок прямой $$y=2x-5$$ на промежутке $$[0;3)$$;
• ветвь гиперболы $$y=\frac{3}{x}$$ при $$x\ge 3$$.

Опорные точки: $$(-5,0),\;(-3,4),\;(0,-5),\;(3,1).$$

б) Свойства функции:

• $$D(f)=[-5;+\infty);$$
• функция не является ни чётной, ни нечётной;
• возрастает на $$[-5;-3]$$ и $$[0;3];$$
• убывает на $$[-3;0]$$ и $$[3;+\infty);$$
• ограничена снизу и сверху;
• $$y_{\min}=-5,\quad y_{\max}=4;$$
• $$E(f)=[-5;4];$$
• функция непрерывна на своей области определения.

в) Уравнение $$f(x)=p$$ имеет ровно три корня при тех значениях $$p$$, при которых горизонтальная прямая пересекает график в трёх точках. Это происходит при

$$p=0 \quad \text{и} \quad p=1.$$

Ответ

а) $$[2;3)$$;
б) $$(-\infty;0)\cup\left(\frac{15}{2};+\infty\right)$$;
в) $$[-3;3)$$;
г) решений нет;
для функции: $$D(f)=[-5;+\infty),\; E(f)=[-5;4],\; p=0,\;1.$$