Упр.23.21 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (x-3)^2/(4x^2-24x+27)?0;
б) (4x^2-4x-15)/(x-1)?0. Решите неравенство:
а) (x-5)/(x^2-3x-10)?0;
б) (2x^2-15x+28)/(x-4)?0.

1. $$\frac{(x-3)^2}{4x^2-24x+27}\ge 0$$

   Разложим знаменатель на множители:

   $$4x^2-24x+27=(2x-3)(2x-9)$$

   Тогда неравенство принимает вид:

   $$\frac{(x-3)^2}{(2x-3)(2x-9)}\ge 0$$

   Числитель $$ (x-3)^2 \ge 0 $$ при всех $$x$$, а равен нулю при $$x=3$$. Знаменатель не должен обращаться в ноль:

   $$x\ne \frac32,\quad x\ne \frac92$$

   Знак дроби определяется знаком знаменателя, поэтому получаем:

   $$x\in(-\infty;\tfrac32)\cup\{3\}\cup(\tfrac92;+\infty)$$

2. $$\frac{4x^2-4x-15}{x-1}\ge 0$$

   Разложим числитель на множители:

   $$4x^2-4x-15=(2x-5)(2x+3)$$

   Тогда

   $$\frac{(2x-5)(2x+3)}{x-1}\ge 0$$

   Критические точки: $$x=-\frac32,\; x=1,\; x=\frac52$$. Точка $$x=1$$ исключается из области определения.

   По знакам на промежутках получаем:

   $$x\in\left[-\frac32;1\right)\cup\left[\frac52;+\infty\right)$$

3. $$\frac{x-5}{x^2-3x-10}\ge 0$$

   Разложим знаменатель:

   $$x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$$

   Тогда

   $$\frac{x-5}{(x-5)(x+2)}\ge 0$$

   При $$x\ne 5$$ можно сократить на $$x-5$$:

   $$\frac{1}{x+2}\ge 0,\quad x\ne 5,\; x\ne -2$$

   Так как числитель равен $$1>0$$, то нужно, чтобы $$x+2>0$$:

   $$x>-2,\quad x\ne 5$$

   Следовательно,

   $$x\in(-2;5)\cup(5;+\infty)$$

4. $$\frac{2x^2-15x+28}{x-4}\ge 0$$

   Разложим числитель на множители:

   $$2x^2-15x+28=(2x-7)(x-4)$$

   Тогда

   $$\frac{(2x-7)(x-4)}{x-4}\ge 0$$

   При $$x\ne 4$$ сокращаем на $$x-4$$:

   $$2x-7\ge 0,\quad x\ne 4$$

   Отсюда

   $$x\ge \frac72,\quad x\ne 4$$

   Значит,

   $$x\in\left[\frac72;4\right)\cup(4;+\infty)$$

Ответ

а) $$(-\infty;\tfrac32)\cup\{3\}\cup(\tfrac92;+\infty)$$;

б) $$\left[-\tfrac32;1\right)\cup\left[\tfrac52;+\infty\right)$$;

а) $$(-2;5)\cup(5;+\infty)$$;

б) $$\left[\tfrac72;4\right)\cup(4;+\infty)$$.