Упр.23.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) {xy+2y^2-3x-15y=-17, x+y=9};
б) {x^2+4xy+8x-11y=215, y-x=3}. Решите систему уравнений:
а) {2(x+2y)-8/(x+2y)=-15, 3x-y=18};
б) {4(2x+3y)-10/(2x+3y)=3, 2x+y=-6}.
а) Из второго уравнения получаем $$x=9-y.$$ Подставим в первое:
$$y(9-y)+2y^2-3(9-y)-15y=-17$$
$$9y-y^2+2y^2-27+3y-15y=-17$$
$$y^2-3y-10=0$$
$$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot(-10)=9+40=49$$
$$y_1=\frac{3-7}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{3+7}{2}=5$$
Тогда
$$x_1=9-(-2)=11,\qquad x_2=9-5=4$$
б) Из второго уравнения получаем $$y=x+3.$$ Подставим в первое:
$$x^2+4x(x+3)+8x-11(x+3)=215$$
$$x^2+4x^2+12x+8x-11x-33=215$$
$$5x^2+9x-248=0$$
$$D=9^2-4\cdot 5\cdot(-248)=81+4960=5041$$
$$x_1=\frac{-9-71}{10}=-8,\qquad x_2=\frac{-9+71}{10}=\frac{31}{5}=6{,}2$$
Тогда
$$y_1=-8+3=-5,\qquad y_2=6{,}2+3=9{,}2$$
а) Обозначим $$t=x+2y.$$ Тогда первое уравнение примет вид
$$2t-\frac{8}{t}=-15,\qquad t\ne 0$$
$$2t^2+15t-8=0$$
$$D=15^2-4\cdot 2\cdot(-8)=225+64=289$$
$$t_1=\frac{-15-17}{4}=-8,\qquad t_2=\frac{-15+17}{4}=\frac12$$
Из второго уравнения $$y=3x-18.$$
Если $$x+2y=-8,$$ то
$$x+2(3x-18)=-8$$
$$7x=28,\qquad x=4,\qquad y=3\cdot 4-18=-6$$
Если $$x+2y=\frac12,$$ то
$$x+2(3x-18)=\frac12$$
$$7x=\frac{73}{2},\qquad x=\frac{73}{14}=5\frac{3}{14},\qquad y=3\cdot \frac{73}{14}-18=-2\frac{5}{14}$$
б) Обозначим $$t=2x+3y.$$ Тогда первое уравнение примет вид
$$4t-\frac{10}{t}=3,\qquad t\ne 0$$
$$4t^2-3t-10=0$$
$$D=3^2-4\cdot 4\cdot(-10)=9+160=169$$
$$t_1=\frac{3-13}{8}=-\frac54,\qquad t_2=\frac{3+13}{8}=2$$
Из второго уравнения $$y=-2x-6.$$
Если $$2x+3y=-\frac54,$$ то
$$2x+3(-2x-6)=-\frac54$$
$$-4x-18=-\frac54,\qquad x=-\frac{67}{16},\qquad y=\frac{19}{8}$$
Если $$2x+3y=2,$$ то
$$2x+3(-2x-6)=2$$
$$-4x-18=2,\qquad x=-5,\qquad y=4$$
Ответ
а) $$(11;\,-2),\ (4;\,5);$$ б) $$(-8;\,-5),\ \left(6{,}2;\,9{,}2\right);$$ в) $$(4;\,-6),\ \left(5\frac{3}{14};\,-2\frac{5}{14}\right);$$ г) $$\left(-\frac{67}{16};\,\frac{19}{8}\right),\ (-5;\,4).$$
